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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 So 18.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | | Sei G eine abelsche Gruppe. Zeige: G[p] := {g [mm] \in [/mm] G | ord (g) teilt p} ist ein Vektorraum über [mm] \IF_{p}. [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme bei obiger Aufgabe. Ich nehme mal an, dass p eine Primzahl ist, oder?
Wenn ich zeigen muss, dass es ein Vektorraum ist, muss ich ja die Vektorraumaxiome nachweisen. Dass G[p] eine abelsche Gruppe ist ist ja schon gegeben, da G[p] Untergruppe von G ist. Richtig?
Weiter komm ich aber schon nicht mehr. Sagen wir mal für a, b [mm] \in \IF_{p} [/mm] und g [mm] \in [/mm] G[p] muss gelten: a(bg) = (ab)g....
Irgendwie komm ich einfach nicht darauf, wie ich das zeigen soll. Irgendwie muss ich ja bestimmt verwenden, dass ord (g) p teilt, oder? Aber wie? Kann mir jemand mal einen Denkanstoß geben?
Grüße
Leni
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei G eine abelsche Gruppe. Zeige: G[p] := {g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G | ord
> (g) teilt p} ist ein Vektorraum über [mm]\IF_{p}.[/mm]
Hallo,
Deine Aufgabe läßt einige Fragen offen:
1. gehört zu einer Gruppe immer eine Verknüpfung - aber diese Problem ost minderschwer. Wir könnten sie einfach [mm] \* [/mm] nennen.
2. Was ist p ?
Achso: Du weißt es auch nicht, lese ich gerade...
3. Was verbirgt sich hinter [mm] \IF_{p}? [/mm] Wie ist das bei Euch definiert? (möglicherweise klärt sich hiermit 2.)
4. Wie ist denn die Vernüpfung [mm] \IF_{p} [/mm] x G --> G definiert? Da bräuchte man ja schon etwas...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 So 18.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Angela!
Leider weiß ich auch nicht mehr als ich schon geschrieben habe. Die Aufgabe steht nur so auf dem Blatt, wie ich sie reingestellt habe. Allerdings nehme ich an, dass p eine primzahl sein soll, weil bei uns eigentlich p immer eine Primzahl sein soll. [mm] \IF_{p} [/mm] ist bei uns der Körper mit p Elementen. Hilft das was? Ich hab mal noch im Skript nachgeschaut. Da steht die Aussage auch drin, allerdings ohne Beweis, mit dem Hinweis, dass wir es selbt auf dem Übungsblatt beweisen. Allerdings steht im Skript noch dabei, dass G[p] "auf natürliche Weise" ein Vektorraum über [mm] \IF_{p} [/mm] ist (wobei "natürlich bedeutet: Jede Untergruppe ist auch ein Unterraum, jeder Gruppenhomomorphismus ist auch ein Vektorraumhomomorphismus). Bringt das was?
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe Probleme bei obiger Aufgabe. Ich nehme mal an,
> dass p eine Primzahl ist, oder?
ich denke davon kannst du ausgehen.
> Wenn ich zeigen muss, dass es ein Vektorraum ist, muss ich
> ja die Vektorraumaxiome nachweisen. Dass G[p] eine abelsche
> Gruppe ist ist ja schon gegeben, da G[p] Untergruppe von G
> ist. Richtig?
wenn ihr nachgewiesen habt, dass $G[p]$ eine untergruppe von $G$ ist, dann ja, ansonsten musst du das eben noch nachweisen.
danach musst du eben eine skalarmultiplikation [mm] $\cdot [/mm] : [mm] \mathbb{F}_p \times [/mm] G[p] [mm] \longrightarrow [/mm] G[p]$ definieren, welche $G[p]$ zu einem [mm] $\mathbb{F}_p$-vektorraum [/mm] macht. überleg dir, dass diese schon vollständig festgeleget ist, wenn du für jedes $g [mm] \in [/mm] G[p]$ sagst, was $1 [mm] \cdot [/mm] g$ sein soll ($1 [mm] \in \mathbb{F}_p$), [/mm] da für $n [mm] \in \mathbb{F}_p$ [/mm] gilt $n = [mm] \underbrace{1 + 1 +... + 1}_{n-\mathrm{mal}}$. [/mm] ist $1 [mm] \cdot [/mm] g$ aber vielleicht schon durch die vektorraum axiome festgelegt? überlege dir also insgesamt, dass es nur eine möglichkeit gibt, die skalarmultiplikation festzulegen. danach musst du eben zeigen, dass dies wirklich alle eigenschaften, die benötigt werden erfüllt.
> Irgendwie komm ich einfach nicht darauf, wie ich das
> zeigen soll. Irgendwie muss ich ja bestimmt verwenden, dass
> ord (g) p teilt, oder? Aber wie?
ja. das baruchtst du, um zu zeigen, dass die skalarmultiplikation wohldefiniert ist!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 18.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Andreas!
Erstmal Danke für deine Antwort.
Wir haben Probleme beim Aufschreiben der Skalarmultiplikation. Wir haben es so versucht:
Sei 1*g = g und n*g = (g+g+...+g) (n-mal)
Dann gilt für a, b [mm] \in \IF_{p} [/mm] und g [mm] \in [/mm] G[p]:
a(bg) = a(g+g+...+g) (b-mal) = g+g+....+g (a*b-mal)
(ab)g = g+g+...+g (a*b-mal)
also gilt a(bg)=(ab)g
Jetzt ist uns aber nicht klar, wie wir zum Ausdruck bringen können, dass a*b ja kleiner als a oder b sein kann. In obiger Schreibweise kommt das ja nicht zum Ausdruck. Irgendwie muss ja noch verwendet werden, dass ord(g) p teilt... uns ist einfach nicht ganz klar, wie das in die beweisführung miteinfließt bzw. wie man das aufschreibt.
LG Leni & Michi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Wir haben Probleme beim Aufschreiben der
> Skalarmultiplikation. Wir haben es so versucht:
>
> Sei 1*g = g und n*g = (g+g+...+g) (n-mal)
das ist auf jeden fall eine sinnvolle definition, da ja zwingeng gelten muss $1g = G$, sonst kann es sich ja um keinen vektorraum handeln.
> Dann gilt für a, b [mm]\in \IF_{p}[/mm] und g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G[p]:
>
> a(bg) = a(g+g+...+g) (b-mal) = g+g+....+g (a*b-mal)
> (ab)g = g+g+...+g (a*b-mal)
>
> also gilt a(bg)=(ab)g
>
> Jetzt ist uns aber nicht klar, wie wir zum Ausdruck bringen
> können, dass a*b ja kleiner als a oder b sein kann.
ich weiß nicht von welchem "kleiner" ihr hier sprecht. auf $\mathbb{F}_p$ gibt es ja keine anordnungsrelation! ihr seid an dieser stelle mit dem beweis schon fertig, da ja trivialerweise gilt $\underbrace{g + g + ... + g}_{(ab)-\mathrm{mal}} = \underbrace{g + g + ... + g}_{(ab)-\mathrm{mal}}$, wenn man als $a$ und $b$ einen repräsentanten der restklasse aus $\{0, ..., p-1\}$ wählt (ich nehme mal an, ihr habt $\mathbb{F}_p$ aus den ganzen zahlen konstruiert). und da beide ausdrücke gleich dem oben angegeben sind gilt $(ab)g = a(bg)$.
> Irgendwie muss ja noch verwendet werden, dass ord(g) p
> teilt... uns ist einfach nicht ganz klar, wie das in die
> beweisführung miteinfließt bzw. wie man das aufschreibt.
wie gesagt braucht man das für die wohldefiniertheit der sklaramultiplikation. es gilt ja $0 = 0g = pg = \underbrace{g + g + ... + g}_{p-\mathrm{mal}$. wäre das nicht $0$, hätte also $g$ keine ordnung, welche $p$ teilt, hätte man ein problem (macht euch klar, welche zeichen aus $G[p]$ und welche aus $\mathbb{F}_p$ sind).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 18.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Sorry, aber wir wissen einfach nicht, wie wir das aufschreiben sollen.... Wir können alle VR-Axiome nachweisen... die sind ja auch nicht schwer, aber wir bringen ja nirgends die Bedingungen, die die Aufgabe uns gibt, ein.
Somit könnt G[p] ja auch ein VR über dem Körper mit z.B. (p+1)-Elementen sein. Wo muss man denn einbringen, dass 0=0g=pg=g+g+...+g ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
das problem ist, dass [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] charakteristik $p$ hat, dass heißt [mm] $\underbrace{1 + ... + 1}_{p-\textrm{mal}} [/mm] = 0$. das muss sich auch bei der skalarmultiplijkation wiederspiegelen. das heißt es muss gelten [mm] $(\underbrace{1 + ... + 1}_{p-\textrm{mal}})g [/mm] = 0g$ und das gilt eben nur, wenn [mm] $\underbrace{g + ... + g}_{p-\textrm{mal}} [/mm] = 0$ für alle $g [mm] \in [/mm] G[p]$. wie habt ihr denn [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] definiert? wenn ihr es als [mm] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ [/mm] definiert habt gilt doch $[0] = [p]$, wenn $[n]$ für die entsprechende restklasse steht. dann muss aber auch $[0]g = [p]g$ gelten. und das ist genau die obige bedingung.
wenn euch das nicht weiterhilft, müsst ihr mal etwas mehr informationen geben - insbesondere, wie ihr den körper mit $p$ elementen definiert habt.
grüße
andreas
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