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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe und [mm] H\subset{}G [/mm] eine Teilmenge. Man zeige, dass H genau dann eine Untergruppe von G ist, wenn die Gruppenverknüpfung von G eine Verknüpfung auf H induziert, d.h. wenn für [mm] a,b\in{}H [/mm] stets [mm] ab\in{}H [/mm] gilt und wenn H mit dieser Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe ist. |
Hallo,
mir erscheint diese Aufgabe irgendwie trivial, deswegen bin ich mir unsicher, ob ich nicht etwas übersehe. Die Untergruppe ist definiert durch
[mm] a,b\in{}H
[/mm]
[mm] 1\in{}H
[/mm]
[mm] a\in{}H\Rightarrow{}a^{-1}\in{}H.
[/mm]
Da all dies auch in der Definition der Gruppe auftaucht, bleibt bloß zu zeigen, dass gilt:
[mm] a,b,c\in{}H\Rightarrow{}(ab)c=a(bc). [/mm] Nun gilt ja [mm] a,b,c\in{}H\Rightarrow{}(ab)c\in{}H\Rightarrow{}(ab)c\in{}G\Rightarrow(ab)c=a(bc) [/mm] , oder?
Ein kurzes Ja/Nein würde mir eigentlich schon genügen.
Vielen Dank und
Viele Grüße
Axiom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Es sei G eine Gruppe und [mm]H\subset{}G[/mm] eine Teilmenge. Man
> zeige, dass H genau dann eine Untergruppe von G ist, wenn
> die Gruppenverknüpfung von G eine Verknüpfung auf H
> induziert, d.h. wenn für [mm]a,b\in{}H[/mm] stets [mm]ab\in{}H[/mm] gilt und
> wenn H mit dieser Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe
> ist.
welche Definition des Begriffes "Untergruppe" steht Dir denn zur
Verfügung? Auch, wenn das selten so gemacht wird, ist doch eigentlich
die zu zeigende Behauptung die naheliegendste, wie man eine
Untergruppe definieren würde.
Vermutlich liegt Dir aber eine andere Definition zugrunde, sowas wie
$H [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und wenn für alle $a,b [mm] \in [/mm] H$ auch [mm] $ab^{-1} \in [/mm] H$
gilt ...
oder ähnliches.
Wäre sinnvoll, das ganze zu ergänzen. Aber generell wird die Aufgabe
mit Sicherheit sehr kurz werden: Sie ist also "fast trivial".
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hi Marcel
Sei G eine Gruppe. Eine Teilmenge [mm] H\subset{}G [/mm] heißt Untergruppe von G, wenn gilt:
[mm] a,b\in{}H\Rightarrow{}ab\in{}H
[/mm]
[mm] 1\in{}H
[/mm]
[mm] a\in{}H\Rightarrow{}a^{-1}\in{}H.
[/mm]
Hatte ich doch schon geschrieben :D . Die Äquivalenz zu deiner Definition habe ich auch schon bewiesen.
Viele Grüße
Und weils so schön war auch noch meine Definition der Gruppe: Für [mm] a,b,c\in{}G [/mm] gilt:
(ab)c=a(bc)
Es existiert [mm] 1\in{}G [/mm] mit 1a=a
Es existiert [mm] a^{-1} [/mm] mit [mm] a*a^{-1}=1
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel
>
> Sei G eine Gruppe. Eine Teilmenge [mm]H\subset{}G[/mm] heißt
> Untergruppe von G, wenn gilt:
>
> [mm]a,b\in{}H\Rightarrow{}ab\in{}H[/mm]
> [mm]1\in{}H[/mm]
> [mm]a\in{}H\Rightarrow{}a^{-1}\in{}H.[/mm]
>
> Hatte ich doch schon geschrieben :D
ja, ich werde wohl alt ^^
> . Die Äquivalenz zu
> deiner Definition habe ich auch schon bewiesen.
>
> Viele Grüße
>
> Und weils so schön war auch noch meine Definition der
> Gruppe: Für [mm]a,b,c\in{}G[/mm] gilt:
>
> (ab)c=a(bc)
> Es existiert [mm]1\in{}G[/mm] mit 1a=a
> Es existiert [mm]a^{-1}[/mm] mit [mm]a*a^{-1}=1[/mm]
na, ich guck' mal gleich doch noch in Deine Frage!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Es sei G eine Gruppe und [mm]H\subset{}G[/mm] eine Teilmenge. Man
> zeige, dass H genau dann eine Untergruppe von G ist, wenn
> die Gruppenverknüpfung von G eine Verknüpfung auf H
> induziert, d.h. wenn für [mm]a,b\in{}H[/mm] stets [mm]ab\in{}H[/mm] gilt und
> wenn H mit dieser Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe
> ist.
> Hallo,
>
> mir erscheint diese Aufgabe irgendwie trivial, deswegen bin
> ich mir unsicher, ob ich nicht etwas übersehe. Die
> Untergruppe ist definiert durch
>
> [mm]a,b\in{}H[/mm]
> [mm]1\in{}H[/mm]
> [mm]a\in{}H\Rightarrow{}a^{-1}\in{}H.[/mm]
>
> Da all dies auch in der Definition der Gruppe auftaucht,
> bleibt bloß zu zeigen, dass gilt:
>
> [mm]a,b,c\in{}H\Rightarrow{}(ab)c=a(bc).[/mm] Nun gilt ja
> [mm]a,b,c\in{}H\Rightarrow{}(ab)c\in{}H\Rightarrow{}(ab)c\in{}G\Rightarrow(ab)c=a(bc)[/mm]
> , oder?
>
> Ein kurzes Ja/Nein würde mir eigentlich schon genügen.
ich sag' mal kurz "Ja". Aber drüber nachdenken werde ich jetzt doch noch:
Sei $H [mm] \subset [/mm] G$ Untergruppe. Dann induziert die Verknüpfung auf [mm] $G\,$ [/mm]
eine Verknüpfung auf [mm] $H\,,$ [/mm] so das letzte die wie in Gruppen erwünschte
Eigenschaften hat.
(Das fehlt irgendwie bei Deiner Definition von Gruppe: Für alle $a,b [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow a\cdot [/mm] b [mm] \in G\,.$ [/mm] Kurz: [mm] $\cdot$ [/mm] ist "abgeschlossen"!)
Weiter: Eine $1 [mm] \in [/mm] H$ ist durch [mm] $1=1_G \in [/mm] G$ gegeben, denn die [mm] $1_G$ [/mm]
erfüllt ja insbesondere [mm] $1_G*h=h*1_G=h$ [/mm] für alle $h [mm] \in H\,.$ [/mm] Also hat
[mm] $H\,$ [/mm] schonmal ein neutrales Element. Weiter gilt nun für jedes $a [mm] \in H\,,$
[/mm]
dass das Inverse [mm] $a^{-1} \in [/mm] G$ (dort existiert es ja erstmal, weil
[mm] $(G,\cdot)$ [/mm] Gruppe) auch zu [mm] $H\,$ [/mm] gehört. Insbesondere ist damit die
[mm] $1_H:=1_G$ [/mm] auch die einzige Möglichkeit für das neutrale Element in
[mm] $H\,,$ [/mm] und diese Wahl tut's!
Dass $(a*b)*c=a*(b*c)$ auch für alle $a,b,c [mm] \in [/mm] H$ gilt, hast Du richtig
begründet.
Und ich glaube, der Rest ist wirklich einfach, also auch die andere
Beweisrichtung ist dann nur noch "Schreibarbeit", bei der man nicht
viel denken muss.
Ich denke allerdings, dass hier bei der einen Beweisrichtung, die ich oben
geschrieben habe, auch, wenn es bzgl. der Aufgabe nicht so wirklich
notwendig war, man sich klarmachen sollte, warum man eigentlich nur
[mm] $1_H:=1_G$ [/mm] setzen kann, wenn [mm] $1_H$ [/mm] ein neutrales Element der
Untergruppe sein soll.
Aber ich habe da zu viel drumherum überlegt, wenn man's kurz und knapp
hält: Du solltest mit Deinen Überlegungen schon alles vollständig erfasst
haben!
Also: Ja, so einfach ist das!
Gruß,
Marcel
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