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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Sa 06.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe. Beweise:
G ist genau dann abelsch, wenn [mm] (ab)^2 [/mm] = [mm] a^2 b^2 [/mm] für alle a,b [mm] \in [/mm] G |
Hallo!"
=>
G ist abelsch
[mm] (ab)^2 [/mm] = [mm] (ab)(ab)=(ba)(ab)=b(aa)b=bb(aa)=b^2a^2
[/mm]
<=
[mm] (ab)^2=(ab)(ab) [/mm] = [mm] a^2 b^2
[/mm]
ZUzeigen: [mm] \forall [/mm] x , y [mm] \in [/mm] G : xy=yx
Stimmt die Richtung => ?
Wie kann ich bei der Richtung <= am besten vorgehen?
Danke,lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:56 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei G eine Gruppe. Beweise:
> G ist genau dann abelsch, wenn [mm](ab)^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm] für alle
> a,b [mm]\in[/mm] G
> Hallo!"
>
> =>
> G ist abelsch
> [mm](ab)^2[/mm] = [mm](ab)(ab)=(ba)(ab)=b(aa)b=bb(aa)=b^2a^2[/mm]
>
>
> <=
> [mm](ab)^2=(ab)(ab)[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
> ZUzeigen: [mm]\forall[/mm] x , y [mm]\in[/mm] G :
> xy=yx
>
>
> Stimmt die Richtung => ?
ja. Überleg' Dir doch einfach für jedes [mm] $=\,$ [/mm] die entsprechende
Begründung: Das erste gilt per Def., das zweite wegen der
Kommutativität, das dritte und vierte wegen Assoziativität...
> Wie kann ich bei der Richtung <= am besten vorgehen?
>
> Danke,lg
Es gelte
[mm] $$x^2y^2=(xy)^2$$
[/mm]
für alle $x,y [mm] \in G\,.$ [/mm] Dannn folgt
[mm] $$(x^2y^2)*(xy)^{-1}=(xy)^2*(xy)^{-1}\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$(x^2y^2)*(xy)^{-1}=xy\,.$$
[/mm]
Linkerhand wende nun (das bekanntlich in jeder Gruppe geltende)
Gesetz [mm] $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ [/mm] an, es folgt:
[mm] $$x^2 [/mm] y [mm] x^{-1}=xy\,.$$
[/mm]
Multipliziere nun auf beiden Seiten der Gleichung von links [mm] $x^{-1}$ [/mm] und
von rechts [mm] $x\,$ [/mm] ran, und Du solltest fertig sein!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Sa 06.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Vielen Dank.
Ich wollte noch wegen Punkt b) fragen:
Es sei G eine Gruppe.Beweisen sie folgende Aussage:
G ist genau dann abelsch, wenn [mm] (ab)^{-1} =a^{-1} b^{-1} [/mm] für alle a,b [mm] \in [/mm] G
=> [mm] (ab)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} a^{-1} =a^{-1} b^{-1}
[/mm]
<=
Es gelte
[mm] (ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1}
[/mm]
für alle a,b [mm] \in G\,. [/mm]
Mein Ansatz:
[mm] (a^{-1}b^{-1}) (ab)^2 [/mm] = [mm] (ab)^{-1} (ab)^2 =b^{-1} a^{-1} [/mm] (ab)(ab)=ab
Es gilt: [mm] (a^{-1}b^{-1}) (ab)^2 [/mm] = [mm] (ba)^{-1} (ab)^2
[/mm]
Kannst du mir da vlt. nochmals helfen?
Lg ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> Vielen Dank.
>
> Ich wollte noch wegen Punkt b) fragen:
>
> Es sei G eine Gruppe.Beweisen sie folgende Aussage:
> G ist genau dann abelsch, wenn [mm](ab)^{-1} =a^{-1} b^{-1}[/mm]
> für alle a,b [mm]\in[/mm] G
>
> => [mm](ab)^{-1}[/mm] = [mm]b^{-1} a^{-1} =a^{-1} b^{-1}[/mm]
die Richtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] ist korrekt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> <=
> Es gelte
>
> [mm](ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1}[/mm]
>
>
> für alle a,b [mm]\in G\,.[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> [mm](a^{-1}b^{-1}) (ab)^2[/mm] = [mm](ab)^{-1} (ab)^2 =b^{-1} a^{-1}[/mm]
> (ab)(ab)=ab
>
> Es gilt: [mm](a^{-1}b^{-1}) (ab)^2[/mm] = [mm](ba)^{-1} (ab)^2[/mm]
> Kannst
> du mir da vlt. nochmals helfen?
ja, aber denk' dran, dass die Verwendung von [mm] $\Rightarrow$-Zeichen
[/mm]
sinnvoll ist. 
Dir geht's also noch darum, zu zeigen, dass aus
[mm] $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ [/mm] (für alle $a,b [mm] \in [/mm] G$) schon [mm] $a*b=b*a\,$
[/mm]
(für alle $a,b [mm] \in [/mm] G$) folgt.
Es gilt
[mm] $$ab=((ab)^{-1})^{-1}\,.$$
[/mm]
Damit kommst Du zum Ziel (etwa, indem Du in der inneren Klammer
erstmal die Regel [mm] $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ [/mm] anwendest, die nach
Voraussetzung gilt, und danach dann aber die "allgemeingültige" Regel
[mm] $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}\,.$ [/mm] (Die Reihenfolge der Regelanwendungen
könnte man auch vertauschen und käme genau so zum Ziel). Danach
beachte (erneut) [mm] $x=(x^{-1})^{-1}\,$ [/mm] - die Regel, mit der wir starteten!)
Gruß,
Marcel
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