Gruppe bzgl. Matrixmultiplikat < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] GL_{n}(K) [/mm] := {A [mm] \in K^{nxn} [/mm] | es existiert ein X [mm] \in K^{nxn} [/mm] so dass XA=I}
eine Gruppe bzgl. Matrixmultiplikation ist. |
Muss ich hier zeigen, dass es dieses X gibt und für dieses X in allen Elementen der Gruppe mit einem beliebigen A multipliziert die Einheitsmatrix ergibt?
Wie muss ich hier das zu zeigende aufführen um zu dem gewünschten Ergebnis zu kommen?
Würde mich über Tipps und Hilfe freuen ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Jessica,
> Zeigen Sie, dass
> [mm] GL_{2}(K) [/mm] := [mm] \{A \in K^{nxn} | es existiert ein X \in K^{nxn} so dass XA=I\}
[/mm]
Ist es nun [mm] $GL_2(\IK)$ [/mm] oder [mm] $Gl_n(\IK)$ [/mm] ?
Passe mal das $n$ oder die 2 an ... 
> eine Gruppe bzgl. Matrixmultiplikation ist.
> Muss ich hier zeigen, dass es dieses X gibt
nein, das ist definierende Eigenschaft von [mm] $Gl_2(\IK)$, [/mm] dh. zu jeder Matrix [mm] $A\in Gl_2(\IK)$ [/mm] gibt es ein [mm] $X\in M_2(\IK)$ [/mm] mit $XA=I$
> und für dieses
> X in allen Elementen der Gruppe mit einem beliebigen A
> multipliziert die Einheitsmatrix ergibt? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Wie muss ich hier das zu zeigende aufführen um zu dem
> gewünschten Ergebnis zu kommen?
>
> Würde mich über Tipps und Hilfe freuen ^^
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du sollst also zeigen, dass [mm] $(Gl_2(\IK),\cdot{})$ [/mm] eine Gruppe ist.
Zeige also jedes der entsprechenden Gruppenaxiome - s. im Skript.
Also
(1) die Abgeschlossenheit bzgl. [mm] \cdot{}
[/mm]
Nimm dir 2 Matrizen [mm] $A,B\in Gl_2(\IK)$ [/mm] her und zeige, dass dann auch [mm] $A\cdot{}B\in Gl_2(\IK)$ [/mm] ist
Dazu überlege dir, was es heißt, dass [mm] $A,B\in Gl_2(\IK)$ [/mm] sind.
Das bedeutet nach Def. von [mm] $Gl_2(\IK)$: $\exists X_A,X_B\in M_2(\IK)$ [/mm] mit [mm] $X_A\cdot{}A=I$ [/mm] und [mm] $X_B\cdot{}B=I$
[/mm]
Kannst du nun für [mm] $A\cdot{}B$ [/mm] eine Matrix [mm] $X\in M_2(\IK)$ [/mm] angeben, so dass [mm] $X\cdot{}(A\cdot{}B)=I$ [/mm] ist? Dann wäre [mm] $A\cdot{}B\in Gl_2(\IK)$
[/mm]
(2) die Assoziativität Für alle [mm] $A,B,C\in Gl_2(\IK)$ [/mm] gilt $(AB)C=A(BC)$
Das gilt aber generell für die Matrixmultiplikation, das ist also nix zu zeigen
(3) Existenz eines (des) neutrales Elementes in [mm] $Gl_2(\IK)$
[/mm]
(4) Jedes Element in [mm] $Gl_2(\IK)$ [/mm] hat ein Inverses in [mm] $Gl_2(\IK)$
[/mm]
Versuche mal, mit diesen Hinweisen die Punkte (1)-(4) "abzuarbeiten"..
Du musst dich nur immer an die Definition von [mm] $Gl_2(\IK)$ [/mm] haslten...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Oh, da hab ich mich vertippt, es soll [mm] GL_{n} [/mm] heißen ^^"
Danke für den Hinweis ich werde mich gleich mal drüber machen es so zu lösen, vielen lieben Dank
|
|
|
|
