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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 14.02.2013 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: jede Gruppe der Ordnung 280 ist nicht einfach. |
Hallo Leute,
ich habe eine Frage und zwar versuche ich gerade so ein paar Beispiele durchzurechnen, wie ich zeigen kann, dass eine Gruppe nicht einfach ist.
Ich weiß, dass ich die 280 in Primfaktoren zerlegen muss.
[mm] 280 = 2^3 * 5* 7 [/mm]
Nun würde ich die 2- /5- /7- Sylowgruppen betrachten.
Das heißt ja nach dem dritten Sylowsatz, dass die mögliche Anzahl der Sylowgruppen [mm] n_p = 1 mod(p) [/mm] ist.
Wenn [mm] n_p [/mm] direkt nur 1 sein kann, weiß ich, dass es die einzige Sylowgruppe ist und somit ist es ein Normalteiler und somit ist die Gruppe nicht einfach.
Aber wenn ich das jetzt mal für die 2-Sylowgruppen mache, dann kann [mm] n_2 \in [/mm] {1,5,7} sein, oder?
Jetzt fehlt mir aber der Schritt, dass ich die Anzahlen 5 und 7 ausschließen kann.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Viele Grüße und vielen Dank,
Katthi
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moin,
Du kannst die anderen Zahlen nicht so ohne weiteres ausschließen.
Versuche mal die Anzahl der Sylowgruppen zur 5 zu bestimmen.
Dabei kriegst du außer der 1 nur eine andere - sehr große - Zahl.
Dann zähle, wie viele Elemente der Ordnung 5 deine Gruppe dann enthält, verwende, dass diese Elemente sicher nicht in einer 2- oder 7-Sylowgruppe liegen und zeige:
Wenn die Anzahl der 5-Sylowgruppen nicht 1 ist, dann muss es eine der anderen beiden sein.
lg
Schadow
PS: [mm] $n_2$ [/mm] könnte auch $5*7$ sein.
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Also wie zeige ich ,dass eine Gruppe nicht einfach ist ?! :
Ganz einfach ,du musst ein Normalteiler finden ,der nicht {id} oder Gruppe G selber ist .
Es gibt zwei Methoden :
Entweder zu findet eine UG von G mit [G:U]=2 => U is NT von G
(mit U ungleich {id} und G)
Oder zu zeigt für deine Gruppe mit Ordnung [mm] 280=2^3*5*7 [/mm] dass es für eine von den dreien p=2,5,7 p-sylowgruppen genau eine gibts.
ich würde dir den zweiten weg vorschlagen .
also : P=2 => [mm] #U=2^3
[/mm]
[mm] s_{2}=1 [/mm] mod(2) und [mm] s_{2} [/mm] teiler von [mm] 280=2^3*5*7 =>s_{2} [/mm] teilt 5*7 da [mm] s_{2} [/mm] ungerade sein muss also kann [mm] s_{2} [/mm] entweder 5 ,7 sein .also hat dieser fall nichts über den Normalteiler gesagt.
jetzt mit P=5
[mm] s_{5}=1 [/mm] mod (5) und [mm] s_{5} [/mm] teilt 280 => aufjeden fall muss [mm] s_{5} [/mm] ein teiler von [mm] 2^3*7 [/mm] sein, dann probieren wir jetzt alle Teilerfälle aus wann
[mm] s_{5}= [/mm] 1 mod 5 ist ?also [mm] 2,2^2 ,2^3 [/mm] ,7, [mm] 2*7,2^2*7 ,2^3*7 [/mm] ob dies =1 mod 5 ,(ich versichere dir keins davon geht ) => [mm] s_{5}=1 [/mm]
es gibt nur eine 5-sylowgruppe P und somit ist dies ein Nt (siehe wikipedia auf folgerung von p-sylowgruppe )
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten.
Prima, also stelle ich mir zur Übersicht erstmal alle Möglichkeiten auf, die ich habe, die den Rest, also hier [mm] 2^3*7[/mm], teilen und schaue dann, ob diese Zahlen als 1 mod(5) geschrieben werden können. das wären dann ja z.B. 6,11,16 etc. oder?
Und weil dies hier nicht der Fall ist, kann nur die Anzahl 1 in Frage kommen, woraus dann folgert, dass es die einzige 5-Sylowgruppe ist --> nicht einfach.
Nun habe ich das auch mal für die Gruppe der Ordnung 120 versucht, weil ich irgendwo gelesen habe, dass über 60 keine einfachen Gruppen vorhanden sind bis irgendwie 300 irgendwas.
Wenn ich das da jetzt auch mache, erhalte ich 2,3 und 5 syslowgruppen, wobei ich aber bei keinen alle Möglichkeiten bis auf die 1 ausschließen kann aufgrund des modulo. Wie muss ich denn da weiter vorgehen??
Vielen Dank :)
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jaaa soo ungefähr 
genauer gesagt ist ja [mm] s_{5} [/mm] ein Teiler von [mm] 2^3*7 [/mm]
Dann bestimmt du alle Teiler von [mm] 2^3*7 [/mm] ,da du schon eine Primzahlzerlegung hast bildest du nun alle möglichen Teiler von [mm] 2^3*7 [/mm] :
(Dies wären 2 [mm] ,2^2, 2^3, [/mm] 7,2*7, [mm] 2^2*7, 2^3*7)
[/mm]
dann berechnest du die Teiler als mod 5 und zeigst dass sie alle ungleich 1 sind.
dann kann [mm] s_{5} [/mm] nur noch die 1 sein q.e.d
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Das macht total Sinn, danke.
hab glaube ich während deiner Bearbeitung noch was hinzugefügt, vllt kannst du mir da auch noch weiterhelfen?
"Nun habe ich das auch mal für die Gruppe der Ordnung 120 versucht, weil ich irgendwo gelesen habe, dass über 60 keine einfachen Gruppen vorhanden sind bis irgendwie 300 irgendwas.
Wenn ich das da jetzt auch mache, erhalte ich 2,3 und 5 syslowgruppen, wobei ich aber bei keinen alle Möglichkeiten bis auf die 1 ausschließen kann aufgrund des modulo. Wie muss ich denn da weiter vorgehen??"
Wäre doch schade, wenn das da jetzt nicht mehr so schön funktioniert :D
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Bist ja auch eine Lehramtstudentent...
sicherlich weiß du ,dass es unendliche viele primzahlen gibts.
Daraus weißt du auch nach Vorlesung dass die Gruppe [mm] G=\IZ/p\IZ [/mm] für p=Primzahl eine kommutative Gruppe(sogar Körper ) ist .
Diese Gruppe G ist einfach für alle Primzahl ,,warum ist diese Gruppe einfach ?
G hat die Ordnung(Anzahl) p ,und p hat nur 1 und p als teiler ,nach Lagrange kann es nur die {id} oder G selber sein 
also stimmt deine Behauptung nicht .
Wenn du eine Aufgabe hast ,wo gesagt wird diese Gruppe ist nicht einfach , solltest du es am besten mit p-sylowgruppe beweisen.
zum Beispiel für G mit Ordnung [mm] 60=2*3*10=2^4*3*5
[/mm]
probierst du es mit p=2,3,5 aus und eine für p-sylow zeigst du ,dass es nur eine p-sylowgruppe gibt
und da muss du nun mal rechnen
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Hey,
@Decehakan
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, aber so ganz kann ich die nicht auf mein problem übertragen. Vielleicht habe ich mich aber auch missverständlich ausgedrückt, von welcher Behauptung bist du denn ausgegangen?
Mein Problem ist einfach, dass ich mir eine Gruppe ausgescht habe (Ordnugn 120), von der ich dachte, die sei nicht einfach, vllt stimmt das auch einfach nicht :D Aber hatte das irgendwo gelesen.
Das Ding ist, dass ich hierbei bei keiner p-Sylow-Gruppe alle Möglichkeiten für [mm] n_p [/mm] außer [mm] n_p=1 [/mm] ausschließen kann, sodass ich dadurch zeige, dass es eben nur eine p-Sylowgruppe gibt.
Liegt dann der Fehler einfach darin, dass die Gruppe einfach ist oder muss ich noch einen weiteren Trick anwenden? Oder müssen die Zahlen, die als teiler in Frage kommen, außer dem 1 mod(p) zu genügen noch eine Bedingung erfüllen?
@Shadowmaster
Danke für den Hinweis :)
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Beschäftigte dich lieber mit Aufgaben die man lösen kann und denk dir keine aus ,denn viele mathematiker sind schon vor uns in den wahnsinn gegangen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Haha,
also tritt dieses Problem nicht auf, wenn die Gruppe auch wirklich nicht einfach ist, ja?! Das würde meine Frage dann ja beantworten ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Sa 16.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Haha,
> also tritt dieses Problem nicht auf, wenn die Gruppe auch
> wirklich nicht einfach ist, ja?! Das würde meine Frage
> dann ja beantworten ;)
eine Gruppe der Ordnung 120 ist nicht einfach. Allerdings ist das nicht ganz so einfach zu zeigen mit den Mitteln, die du vermutlich kennst. Eine Moeglichkeit es zu zeigen ist ![[]](/images/popup.gif) hier skizziert.
Hier findest du die Ordnungen aller einfachen Gruppen von Ordnung $< 100000$ -- ausgenommen die von Primzahlordnung. Wie du siehst, sind es nicht sehr viele. Allerdings fuer irgendeine Ordnung $< 100000$, die weder prim ist noch in der Liste aufgefuehrt ist, zu zeigen dass es keine einfache Gruppe dieser Ordnung gibt ist im allgemeinen sehr schwer.
Man kann uebrigens auch zeigen, dass alle endlichen Gruppen ungerader Ordnung aufloesbar sind (das ist der Satz von Feit und Thompson, dessen Beweis mehr als 200 Seiten umfasst), womit alle endlichen Gruppen ungerader Ordnung, die nicht prim ist, automatisch nicht einfach sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Na gut dann habe ich mich da zumindest nicht verlesen, dass die Gruppe mit Ordnung 120 nicht einfach ist :)
Aber vielen Dank für die ausführliche Antwort, werde mir das mal ansehen, aber ich hoffe soetwas kommt dann nicht gerade in der Klausur ;)
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Nur mal so:
[mm] $2^3*7 \equiv [/mm] 8*7 [mm] \equiv [/mm] 3*2 [mm] \equiv [/mm] 1 $ (mod 5)
Damit muss man hier noch diese Anzahl ausschließen.
Dafür kann man sich aber überlegen:
Wenn es wirklich [mm] $2^3*7 [/mm] = 56$ Sylow-UGs mit $5$ Elementen gäbe, so müsste es $56*4 = 224$ Elemente der Ordnung 5 geben.
Nimmt man an, dass sowohl [mm] $s_7$ [/mm] als auch [mm] $s_2$ [/mm] größer 1 sind, werden das auch sehr viele Elemente der Ordnung $7$ und gerader Ordnung, sodass am Schluss mehr als 280 Elemente in der Gruppe sein müssen und diese damit nicht einfach ist.
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