Gruppe mit 4 Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Man bestimme (bis auf Isomorphie) alle Gruppen mit 4 Elementen.
In meinem Skript steht in einer Bemerkung:
Es gibt bis auf Isomorphie genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Aber stimmt das wirklich, gibt es wirklich nur 2 Gruppen mit 4 Elementen ausser ... ???
Sind dann: (G,+),(G,.) die einzigen beiden Gruppen?
G={e,a,b,c} oder mache ich irgendwas falsch?
Danke für eure Hilfe Gruß Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Toyo
> Hallo,
> ich habe folgende Aufgabe:
> Man bestimme (bis auf Isomorphie) alle Gruppen mit 4
> Elementen.
>
> In meinem Skript steht in einer Bemerkung:
> Es gibt bis auf Isomorphie genau 2 Gruppen der Ordnung 4.
> Aber stimmt das wirklich, gibt es wirklich nur 2 Gruppen
> mit 4 Elementen ausser ... ???
> Sind dann: (G,+),(G,.) die einzigen beiden Gruppen?
> G={e,a,b,c} oder mache ich irgendwas falsch?
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, das ist sicher nicht so gemeint!
Was für ein Verknüpfungszeichen man nimmt, ist völlig belanglos!
Man hat sich allerdings etwas angewöhnt, eine Gruppe mit dem Plus-Zeichen als additive Gruppe zu bezeichnen, mit dem Punkt als multiplikative Gruppe. Auch bezeichnet man in der Regel das Neutrale Element in der Additiven Gruppe als $0_$, bei der Multiplikativen Gruppe hingegen als $1_$, entsprechend für das Inverse Element von $a_$ $-a_$ respektive [mm] $a^{-1}$
[/mm]
Das ist aber im Prinzip nicht von Bedeutung.
Nein, es geht um etwas ganz anderes.
Gesucht ist eine vollständig ausgefüllte Verknüpfungstafel, wie ich das etwa schon begonnen habe:
[mm]\begin{tabular}{c|c|c|c|c|}
+&0&a&b&c \\ \hline
0&0&a&b&c \\ \hline
a&a&.&.&. \\ \hline
b&b&.&.&. \\ \hline
c&c&.&.&. \\ \hline
\end{tabular}[/mm]
Die Aufgabe ist jetzt nur, die fehlenden Einträge noch zu ergänzen, und zwar so, dass alle Gruppenaxiome erfüllt sind.
Im Prinzip hast du ja noch $9_$ fehlende Einträge, die alle mit einem $0_$, $a_$, $b_$ oder $c_$ zu ergänzen sind (und nichts anderes).
Das gäbe theoretisch [mm] $9^{4}$ [/mm] Möglichkeiten, das zu tun! Aber eben: die Gruppenaxiome müssen erfüllt sein!
Zum Beispiel: die Gruppe soll kommutativ sein (nehme ich einfach mal an).
Das würde zum Beispiel bedeuten, dass die Tabelle symmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonalen sein muss. So entfallen schon mal etliche Möglichkeiten!
Oder: das Neutrale Element ist eindeutig bestimmt. Ich habe die $0_$ dafür gewählt. Somit kann es nicht sein, dass z.B. $a+b=a_$ ist, weil ja dann das $b_$ neutrales Element wäre - ein Widerspruch!
Auch muss jedes Element genau ein Inverses Element haben. Es muss also eines der drei Additionen vorkommen:
$a+a=0_$ oder $a+b=0_$ oder $a+c=0_$
Das Inverse Element ist aber auch eindeutig bestimmt. Das heisst, in jeder Kolonne muss genau einmal eine $0_$ vorkommen.
Wenn du jetzt im Einklang mit allen Gruppenaxiomen die Tabelle ausfüllst, so werden zum Schluss von den [mm] $9^{4}$ [/mm] Möglichkeiten eben nur noch $2_$ übrigbleiben! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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