Gruppe und Körper... < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A[a, b] die Menge aller auf dem Interval [a, b] definierten reellwertigen Funktionen. Auf
A[a, b] werde wie folgt eine Addition ⊕ und eine Multiplikation [mm] \odot [/mm] definiert: Seien f, g ∈
A[a, b]. Dann gilt für alle x ∈ [a, b]:
(f ⊕ g)(x) := f(x) + g(x)
(f [mm] \odot [/mm] g)(x) := f(x) · g(x)
a) Welche Struktur haben (A[a, b],⊕) und (A[a, [mm] b], \odot)?Wie [/mm] sieht es mit (A[a, [mm] b],\oplus,\odot) [/mm] aus?
b) Sei
A folgendermaßen definiert: Für alle f, g ∈ A[a, b] gilt
f
A g :⇔ Für alle x ∈ [a, b] ist f(x) ≤ g(x).
Ist
A eine Ordnung auf A[a, b]?
Begründen sie jeweils ihre Antwort mathematisch präzise.
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Hallo zusammen,
(a) ist mir schon klar, dass (A[a,b], [mm] \oplus) [/mm] und (A[a,b], [mm] \odot) [/mm] Gruppen sind, und (A[a,b], [mm] \oplus, \odot) [/mm] Körper ist. Es kann einfach per Definitionen der Gruppe und Körper bewiesen werden. Aber bei (b) habe ich Probleme. Vertsehe nicht, was hier Ordnung gemeint. Also kann Jemand mir helfen?! Vielen Dank!!:)
Viele Grüße
antonicwalker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei A[a, b] die Menge aller auf dem Interval [a, b]
> definierten reellwertigen Funktionen. Auf
> A[a, b] werde wie folgt eine Addition ⊕ und eine
> Multiplikation [mm]\odot[/mm] definiert: Seien f, g ∈
> A[a, b]. Dann gilt für alle x ∈ [a, b]:
> (f ⊕ g)(x) := f(x) + g(x)
> (f [mm]\odot[/mm] g)(x) := f(x) · g(x)
> a) Welche Struktur haben (A[a, b],⊕) und (A[a,
> [mm]b], \odot)?Wie[/mm] sieht es mit (A[a, [mm]b],\oplus,\odot)[/mm] aus?
> b) Sei
> A folgendermaßen definiert: Für alle f, g ∈ A[a, b]
> gilt
f [mm] \circ [/mm] A g :⇔ Für alle x ∈ [a, b] ist f(x) ≤ g(x).
Ist [mm] \circ [/mm] A eine Ordnung auf A[a, b]?
> Begründen sie jeweils ihre Antwort mathematisch präzise.
>
> Hallo zusammen,
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> (a) ist mir schon klar, dass (A[a,b], [mm]\oplus)[/mm] und (A[a,b],
> [mm]\odot)[/mm] Gruppen sind, und (A[a,b], [mm]\oplus, \odot)[/mm] Körper
> ist. Es kann einfach per Definitionen der Gruppe und Körper
> bewiesen werden. Aber bei (b) habe ich Probleme. Vertsehe
> nicht, was hier Ordnung gemeint. Also kann Jemand mir
> helfen?! Vielen Dank!!:)
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> Viele Grüße
>
> antonicwalker
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Überleg nochmal ob [mm] (\mathcal{A}[a,b],\odot) [/mm] wirklich eine Gruppe ist, bzw. [mm] (\mathcal{A}[a,b],\odot,\oplus) [/mm] wirklich Körper ist. Hat wirklich jede Funktion f [mm] \in \mathcal{A}[a,b] [/mm] ein multiplikativ Inverses?
Viele Grüße
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> Hallo,
> Überleg nochmal ob [mm](\mathcal{A}[a,b],\odot)[/mm] wirklich eine
> Gruppe ist, bzw. [mm](\mathcal{A}[a,b],\odot,\oplus)[/mm] wirklich
> Körper ist. Hat wirklich jede Funktion f [mm]\in \mathcal{A}[a,b][/mm]
> ein multiplikativ Inverses?
>
> Viele Grüße
Hallo,
vielen Dank, dass du mich auf (a) aufmerksam gemacht hast. Jetzt habe ich bemerkt, dass (A[a,b], [mm] \odot) [/mm] keine Gruppe ist, weil nicht jede f eine Inverse hat.
Z.B: f(x)= 1, falls x [mm] \in [/mm] [a,t[ ; f(x)=0, falls x [mm] \in [/mm] [t,b] ,wobei t [mm] \in [/mm] [a,b]
=> Es existiert kein Inverse von f(x), damit f(x) *f-1(x) gleich Einselement gilt.
Daraus folgt, dass (A[a,b], [mm] \plus, \odot) [/mm] Ring ist.
Aber wie ist bei (b)?!
Viele Grüße
antonicwalker
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> Daraus folgt, dass (A[a,b], [mm]\plus, \odot)[/mm] Ring ist.
Hallo,
das ist doch Unfug: ein Ring ist ja eine Menge mit 2 Verknüpfungen, und Du hast hier nur eine.
Gruß v. Angela
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na eine Ordnung heißt doch: Es muss genau eine der folgenden Eigenschaften gelten:
f A g, oder g A f oder f=g, damit das ganze eine Ordnung sein kann, und das für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]
Viele Grüße
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Hallo,
hab über (b) nachgedacht, aber verstehe immer noch nicht so ganz.
(b) lautet:
Sei [mm] \circ [/mm] A folgendermaßen definiert: Für alle f, g ∈ A[a, b] gilt
f [mm] \circ [/mm] A g :⇔ Für alle x ∈ [a, b] ist f(x) ≤ g(x).
Ist [mm] \circ [/mm] A eine Ordnung auf A[a, b]?
Begründen sie jeweils ihre Antwort mathematisch präzise.
Annahme: [mm] \exists [/mm] f(x), damit f(x) > g(x)
Sei f(x)=2, falls [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]
=>Kann eine Funktion g(x) gefunden werden, dass g(x)= Einselement,
[mm] \forall [/mm] x in [a,b], damit f(x)> g(x)
aber wie kann ich es mathematisch präzise beweisen?!
Vielen Dank
Herzliche Grüße
antonicwalker
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> Hallo,
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> hab über (b) nachgedacht
Hallo,
nur nachzudenken nützt meist nichts.
Am Anfang steht immer die Definition.
Ist Dir klar, wie Ordnung definiert ist, welche Eigenschaften gelten müssen?
Du solltest die Definition, die Ihr verwendet, einmal aufschreiben. Komplett. Mit Vor- und Nachwort, sofern es das gibt.
Denn ohne die präzise Definition wird man kaum eine präzise Begründung hinbekommen.
Es hat auch einen Grund, warum ich so genau nachfrage: was unter "Ordnung" verstanden wird, variiert nämlich von Ort zu Ort, und wir sollten doch erst feststellen, was das bei Euch ist.
Gruß v. Angela
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