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hi habe mal ne Frage!
wie kann ich das zeigen / beweisen?
Seien [U, [mm] \circ] [/mm] eine Gruppe, sowie U eine nichtleere Menge von G. Beweise sie die Äuivalenz folgender Aussagen:
(i) [U, [mm] \circ] [/mm] ist eine Untergruppe von [G, [mm] \circ]
[/mm]
(i) für alle a,b [mm] \in [/mm] U gilt, a [mm] \circ b^{-1} \in [/mm] U
vielen Dank für eure hilfe weiss gar nicht was ich da machen soll habe auch schon einige lösungen versucht aber komme nirgens weiter!
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Grüße!
Also, zunächst macht man sich anhand der Definition schlau:
Sei $(G, [mm] \circ)$ [/mm] eine Gruppe und $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine nichtleere Teilmenge. Dann heißt $U$ Untergruppe von $G$, falls gilt:
i) $e [mm] \in [/mm] U$ (dabei ist $e$ das Einselement von $G$)
ii) Für $g,h [mm] \in [/mm] U$ gilt: [mm] $g\circ [/mm] h [mm] \in [/mm] U$
iii) Für $u [mm] \in [/mm] U$ gilt: [mm] $u^{-1} \in [/mm] U$
Das sind drei natürliche Bedingungen, die man an eine Untergruppe stellt: das neutrale Element soll drin sein, die Gruppenmultiplikation soll nicht aus der Menge hinausführen und die Inversen sollen enthalten sein.
Und die Behauptung ist jetzt, dass eine Menge diese 3 Eigenschaften erfüllt GENAU DANN WENN, sie diese eine Eigenschaft erfüllt:
iv) Zu $g,h [mm] \in [/mm] U$ ist $g [mm] \circ h^{-1} \in [/mm] U$
Das ist die zweite Eigenschaft von oben modifiziert - und trotzdem ist diese eine Eigenschaft äquivalent zu den dreien oben!
Was ist also zu zeigen? Zunächst, wenn Du die 3 Eigenschaften oben annimmst, dann mußt Du zeigen, dass auch iv) gilt. Das ist nicht schwer und auch nicht erstaunlich.
Die Hauptaufgabe ist diese Richtung: Du nimmst NUR an, dass iv) gilt und willst dann daraus i) bis iii) herleiten...
Viel Erfolg!
Lars
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Muss man nicht zusätzlich voraussetzen dass auch [mm] a^{-1} [/mm] ein Element der Teilmenge sein muss.
Oder reicht es z.z. dass das neutrale Element auch in der Teilmenge steckt. Dazu hätte ich folgenden Ansatz, bin mir aber unsicher ob das so einfach geht.
a,b Element von U [mm] \Rightarrow ab^{-1} [/mm] Element von U. Damit auch [mm] ba^{-1}? [/mm] Und ab{-1}ba{-1}=e [mm] \in [/mm] U? Hmm.
Wenn aber zusätzlich vorausgesetzt werden würde das [mm] a^{-1} \in [/mm] U wäre, würde ich sicherer fühlen. Was meinst Du?
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Ich habe noch einmal nachgesehen. Lars gab die Definition einer Untergruppe an und die Bedingung.
Ich bin der Meinung, die Bedingung iv; müsste ergänzt werden. Ich habe das so gemeint. Wenn es auch ohne diese Bedingung geht, zeigst Du mir das Bitte. Sonst schlafe ich heute schlecht.
Gruß
Hakan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Di 09.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Noch einmal:
Eine Untergruppe wird durch (i) bis (iii) definiert.
Nun kann man zeigen, dass für eine nichtleere (das hatte Lars im zweiten Teil vergessen) Teilmenge $U$ einer Gruppe genau dann die Eigenschaften (i) bis (iii) gelten, wenn (iv) gilt.
Sprich: Für eine nichtleere Teilmenge $U$ einer Gruppe $G$ gilt:
$(i), (ii), (iii) [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] (iv)$.
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] folgt sofort durch Anwenden von (ii) und (iii).
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] folgt so:
Da $U$ nicht leer ist, gibt es ein $u [mm] \in [/mm] U$. Dann gilt aber nach (iv) (mit $g:=u$ und $h:=u$) auch:
$e = u [mm] \cdot u^{-1} \in [/mm] U$,
also (i).
Weiterhin gilt mit $u [mm] \in [/mm] U$ nach (iv) (mit $g:=e$ und $h:=u$) und wegen $e [mm] \in [/mm] U$ (gerade bewiesen) auch
[mm] $u^{-1} [/mm] = e [mm] \cdot u^{-1} \in [/mm] U$,
also (iii).
Sind nun $g$ und $h$ aus $U$ beliebig, so folgt aus (iv) (da [mm] $h^{-1} \in [/mm] U$, wie gerade bewiesen):
$g [mm] \cdot [/mm] h = g [mm] \cdot (h^{-1})^{-1} \in [/mm] U$,
also (ii).
Damit ist alles gezeigt.
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Di 09.11.2004 | | Autor: | JannisCel |
Danke
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