Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mi 30.11.2005 | | Autor: | dauwer |
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen. Ich habe einen Ansatz gefunden, weiss aber nicht weiter. Es wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.
| Aufgabe | Sei [mm] $(G,\*)$ [/mm] eine endliche Gruppe und [mm] $\emptyset \not= [/mm] U [mm] \subset [/mm] G$.
Zeigen Sie: [mm] $(U,\*)$ [/mm] ist bereits eine Untergruppe von [mm] $(G,\*)$, [/mm] wenn U bezüglich der Gruppenoperation [mm] $"\*"$ [/mm] abgeschlossen ist. |
Ich habe folgenden Ansatz gefunden:
Damit [mm] $(U,\*)$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $(G,\*)$ [/mm] sein kann, muss gelten:
[mm] $$\*:G \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$$ lässt sich zu [mm] $$\*:U \times [/mm] U [mm] \to [/mm] U$$ einschränken und [mm] $(U,\*)$ [/mm] wird zu einer Gruppe.
Für die Abgeschlossenheit muss ja nur [mm] $$\*:U \times [/mm] U [mm] \to [/mm] U$$ gelten, richtig?
Nun weiss ich nicht wie ich fortfahren soll. Kann ich überhaupt mit diesem Ansatz etwas anfangen, oder ist das Blödsinn.
Danke für eure Antworten.
Grüsse, Marc
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> Ich habe folgende Aufgabe zu lösen. Ich habe einen Ansatz
> gefunden, weiss aber nicht weiter. Es wäre toll wenn mir
> jemand helfen könnte.
>
> Sei [mm](G,\*)[/mm] eine endliche Gruppe und [mm]\emptyset \not= U \subset G[/mm].
>
> Zeigen Sie: [mm](U,\*)[/mm] ist bereits eine Untergruppe von [mm](G,\*)[/mm],
> wenn U bezüglich der Gruppenoperation [mm]"\*"[/mm] abgeschlossen
> ist.
>
Hallo,
zu zeigen ist ja, daß die Teilmenge U von G zusammen mit * eine Gruppe ist, unter der Voraussetzung, daß U bzgl.* abgeschlossen ist.
Nun muß man überlegen, welche "Zutaten" man für "Gruppe" braucht, und diese nachweisen.
1. U nichtleer
2. * ist innere Verknüpfung
3. assoziativ (warum gilt das?)
4. Das neutrale Element ist in U. Nun muß man beginnen zu überlegen. Tip: nimm ein Element aus u, betrachte dessen Potenzen und berücksichtige, daß U n.V. endlich ist.
5. Das inverse eines jeden Elementes aus U liegt auch in U. Wenn Du 4. hast, wird Dir hierzu schnell eine Idee kommen.
Gruß v. Angela
> Ich habe folgenden Ansatz gefunden:
> Damit [mm](U,\*)[/mm] eine Untergruppe von [mm](G,\*)[/mm] sein kann, muss
> gelten:
> [mm]\*:G \times G \to G[/mm] lässt sich zu [mm]\*:U \times U \to U[/mm]
> einschränken und [mm]$(U,\*)$[/mm] wird zu einer Gruppe.
> Für die Abgeschlossenheit muss ja nur [mm]\*:U \times U \to U[/mm]
> gelten, richtig?
> Nun weiss ich nicht wie ich fortfahren soll. Kann ich
> überhaupt mit diesem Ansatz etwas anfangen, oder ist das
> Blödsinn.
>
> Danke für eure Antworten.
>
> Grüsse, Marc
>
> (Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
|
|
|
|
