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Gruppen: Hinweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Sa 03.12.2005
Autor: Mihi

Hi Leute,
ich bin mal wieder mit einer Aufgabenstellung völlig überfragt.
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe.
Es habe U genau 2 Rechtsnebenklassen (RNK) in G.
Zeige, dass U Normalteiler von G ist.

Ich vermute folgendes:
besitzt U 2 RNK so besitzt sie eigentlich auch zwei LinksNK, oder muss dann die Kommutativität in U und G gelten?
es gibt also mind. ein g [mm] \in [/mm] G für das gilt:
                        [mm] g\circu\in [/mm] U
und mind. ein [mm] h\in [/mm] G für das gilt
                       [mm] h\circu\not\in [/mm] U
Nach meiner Annahme gibt es also nun 2 LNK.
als gibt es auch hier mind. ein [mm] f\in [/mm] G mit:
                         [mm] u\circf\in [/mm] U
und mind. ein [mm] k\in [/mm] G mit:
                          [mm] u\circk\not\in [/mm] U
wobei g=f und h=k nicht unbedingt sein muss????????
Danke im Voraus für die Antwort.

Eine weitere Frage:
Seien K und K'Körper und [mm] f:K\toK'ein [/mm] Ringhomomorphismus. Zeige: Ist f nicht injektiv, so ist f(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] K.
Tut mir leid aber hier finde ich gar keinen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:52 Sa 03.12.2005
Autor: Mihi

Da oben fehlt was:
es soll heißen:    g "kringel" u    (also Verknüpfung)
                           h "kringel" u
                           u "kringel" f
                           u "kringel" k
und unten Abbildung von K nach K`.



Bezug
        
Bezug
Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 So 04.12.2005
Autor: felixf


> Hi Leute,
>  ich bin mal wieder mit einer Aufgabenstellung völlig
> überfragt.
>  Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe.
>  Es habe U genau 2 Rechtsnebenklassen (RNK) in G.
>  Zeige, dass U Normalteiler von G ist.
>  
> Ich vermute folgendes:
>  besitzt U 2 RNK so besitzt sie eigentlich auch zwei
> LinksNK, oder muss dann die Kommutativität in U und G
> gelten?

Du brauchst die Kommutativitaet nicht, das gilt immer: Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen sind immer genauso maechtig wie die Untergruppe und von beiden gibt es die gleiche Anzahl (betrachte die Bijektion $U g [mm] \leftrightarrow g U$ von der Menge der Linksnebenklassen in die Menge der Rechtsnebenklassen; das es eine Bijektion ist muss man natuerlich nachrechnen (es reicht sogar die Wohldefiniertheit nachzurechnen, der Rest ist dann ''offensichtlich'' :-) )). > es gibt also mind. ein g [/mm]  [mm]\in[/mm] G für das gilt:

>                          [mm]g\circ u\in[/mm] U
>  und mind. ein [mm]h\in[/mm] G für das gilt
>                         [mm]h\circ u\not\in[/mm] U

Was ist u? Irgendein Element aus U?

>  Nach meiner Annahme gibt es also nun 2 LNK.
> als gibt es auch hier mind. ein [mm]f\in[/mm] G mit:
>                           [mm]u\circ f\in[/mm] U
>  und mind. ein [mm]k\in[/mm] G mit:
>                            [mm]u\circ k\not\in[/mm] U
>  wobei g=f und h=k nicht unbedingt sein muss????????

Nein, die muessen nicht gleich sein.

>  Danke im Voraus für die Antwort.

Mach das doch so: Die Anzahl der Linksneben- und Rechtsnebenklassen ist gleich. Weiterhin ist die disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen gleich der disjunkten Vereinigung der Rechtsnebenklassen gleich der ganzen Gruppe. Also sind die Linksnebenklassen gerade $U$ und $G [mm] \setminus [/mm] U$. Wie die Rechtsnebenklassen aussehen solltest du jetzt auch sagen koennen :-)

Damit U ein Normalteriler ist, musst du ja U g = g U nachrechnen fuer alle g aus G. Jetzt ueberleg mal, wann genau U g = U und g U = U ist. Und was U g bzw. g U in allen anderen Faellen ist.

> Eine weitere Frage:
>  Seien K und K'Körper und [mm]f:K\toK'ein[/mm] Ringhomomorphismus.
> Zeige: Ist f nicht injektiv, so ist f(x)=0 für alle [mm]x\in[/mm]
> K.
>  Tut mir leid aber hier finde ich gar keinen Ansatz.

Es gibt zwei Moeglichkeiten:
1. Schau dir die Anzahl der Ideale in einem Koerper an.
2. Rechne es direkt nach und benutze dabei, das jedes Element ungleich 0 eine Einheit ist. Ist also f(x) = 0 mit x ungleich 0, so ist $f(a) = f(a [mm] x^{-1} [/mm] x) = [mm] \ldots$ [/mm] fuer alle a.

HTH Felix


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