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| Aufgabe 1 | Hinweis: G,H bezeichnen Gruppen.
Sei die Transformationsforschrift
[mm] \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } [/mm] (ax + by) = ( [mm] \alpha [/mm] a + b [mm] \beta [/mm] )x + (a [mm] \gamma [/mm] + b [mm] \delta [/mm] )y
gegeben.
a) Zeige, dass die Vorschrift eine Operstion von [mm] SL_{2}R [/mm] auf der Menge G der Geraden in [mm] R^{2} [/mm] durch den Nullpunkt definiert.
b) Zeige, dass es Elemente A [mm] \in SL_{2}(R) [/mm] gibt, die einen Fixpunkt haben ( d.h. A(g)= g) und andere, die keinen Fixpunkt haben. |
| Aufgabe 2 | Hinweis: G, H bezeichnen Gruppen.
Sei G eine Gruppe, die treu auf einer Menge M operiert (eine Operation ist treu, wenn g(x)=x, für alle x [mm] \in [/mm] M, impliziert das g=e). Zeige, dass
[mm] Stab_{x}(G) [/mm] := {g [mm] \in [/mm] G | g(x)=x}
Zeige, dass [mm] Stab_{x} [/mm] (G) eine Gruppe ist. |
| Aufgabe 3 | Hinweis: G, H bezeichnen Gruppen.
Sei G eine endliche Gruppe.
Zeige, dass die Anzahl der Elemente von [mm] Stab_{x} [/mm] (G) die Anzahl der Elemente von G teilt. |
Zu 1)
a) Habe ich richtig verstanden, dass ich nur zeigen muss, dass die Aufgestellte Formel richtig ist und das ganze auch für Null funktioniert in dem ich einfach für x und y Null einsetze.
b) soll einfach nur eine beliebige Matrix hinschreiben z. B
[mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & d } [/mm] mal einen Vektor z.B. [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] und soll zeigen das, es ein Vielfaches de Vektors ergibt....
Man wähle für a und d beliebige Werte.
Dabei muss ich einfach nur das Produkt Matrix und des Vektos ausrechnen und dann wie zeige ich das es ein Vielfaches des Vektors ist.
Um zu zeigen das, es Elemente gibt die keinen Fixpunkt haben, knalle ich ihm einfach eine Matrix mit sin und cos hin.....oder?
Zu Aufgabe 2)
Ist richtig wenn ich hinschreibe:
a, b [mm] \in Stab_{x}
[/mm]
a * b [mm] \in Stab_{x}
[/mm]
(a * b)(x)=x
a (b(x))= (b(x))=x wegen Vorschrift
=> a(x)=x
=> x=x
Jetzt zeigen wir noch die Existenz von Inversen.
[mm] a^{-1} \in Stab_{x}
[/mm]
(a * [mm] a^{-1})(x) [/mm] = 1(x) [mm] a*a^{-1}=Einheitselement
[/mm]
[mm] a(a^{-1}(x))= a^{-1}(x)=x
[/mm]
=> a(x)=x
=> x=x
Jezt zeigen wir die Existenz der Einheit:
e [mm] \in Stab_{x}
[/mm]
(e * a)(x) = a(x)
=> x=x
Zu Aufgabe 3)
sorry, aber dazu fällt mir gar nix ein......ich hoffe ihr helft mir trotzdem!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo ShinySmile! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") ;)
Du musst dich deutlich klarer ausdrücken. Man versteht kaum, was du meinst.
> Zu 1)
> a) Habe ich richtig verstanden, dass ich nur zeigen muss, dass die Aufgestellte Formel richtig ist und das ganze auch für Null funktioniert in dem ich einfach für x und y Null einsetze.
Zur Wiederholung: eine Gruppe $G$ operiert auf einer Menge $M$ vermöge [mm] $\cdot:G\times M\to [/mm] M$, wenn [mm] $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot [/mm] x)$ für alle [mm] $g,h\in [/mm] G, [mm] x\in [/mm] M$ und [mm] $e\cdot [/mm] x=x$ für alle [mm] $x\in [/mm] M$ (dabei bezeichnet [mm] $e\in [/mm] G$ das neutrale Element in $G$).
Dies musst du hier prüfen. Nimm dir also zwei Matrizen $A,B$ aus [mm] $SL_2(\IR)$ [/mm] und schaue ob für [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] stets [mm] $(AB)\cdot (ax+by)=A\cdot (B\cdot [/mm] (ax+by)$ ist. Du beweist dies durch einfaches Nachrechnen. Die zweite Bedingung sollte ebenso klar sein. Damit hast du dann bereits gezeigt, dass [mm] $SL_2(\IR)$ [/mm] auf der Menge der Ursprungsgeraden operiert.
>b) soll einfach nur eine beliebige Matrix hinschreiben z. B
> $ [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & d } [/mm] $ mal einen Vektor z.B. $ [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] $ und soll zeigen das, es ein Vielfaches de Vektors ergibt....
> Man wähle für a und d beliebige Werte.
> Dabei muss ich einfach nur das Produkt Matrix und des Vektos ausrechnen und > > dann wie zeige ich das es ein Vielfaches des Vektors ist.
Einfach ausrechnen. Suche dir eine Matrix [mm] $A\inSL_2(\IR)$, [/mm] für die ein Vektor [mm] $v\in\IR^2$ [/mm] mit $Av=v$ existiert.
> Um zu zeigen das, es Elemente gibt die keinen Fixpunkt haben, knalle ich ihm einfach eine Matrix mit sin und cos hin.....oder?
Eine gute Idee. Du nimmst also eine Rotationsmatrix mit einem Winkel aus [mm] $(0,2\pi)$. [/mm] Diese besitzt keine Fixpunkte.
> Zu Aufgabe 2)
> Ist richtig wenn ich hinschreibe:
> a, b $ [mm] \in Stab_{x} [/mm] $
> a * b $ [mm] \in Stab_{x} [/mm] $
> (a * b)(x)=x
> a (b(x))= (b(x))=x wegen Vorschrift
> => a(x)=x
> => x=x
Ja, du meinst das richtige, es ist aber nicht gut aufgeschrieben. Schreibe doch: seien [mm] $a,b\in Stab_{x}$. [/mm] Dann ist [mm] $(ab)\cdot (x)=a\cdot(b\cdot x)=a\cdot [/mm] x=x$. Also ist auch [mm] $ab\in Stab_{x}$. [/mm]
> Jetzt zeigen wir noch die Existenz von Inversen.
> $ [mm] a^{-1} \in Stab_{x} [/mm] $
> (a * $ [mm] a^{-1})(x) [/mm] $ = 1(x) $ [mm] a\cdot{}a^{-1}=Einheitselement [/mm] $
> $ [mm] a(a^{-1}(x))= a^{-1}(x)=x [/mm] $
> => a(x)=x
> => x=x
Das ist fast richtig, du musst allerdings $a$ und [mm] $a^{-1}$ [/mm] vertauschen. So ist es besser: sei [mm] $a\in Stab_{x}$. [/mm] Dann ist [mm] $a^{-1}\cdot x=a^{-1}\cdot (a\cdot x)=(a^{-1}a)\cdot x=e\cdot [/mm] x=x$. Also ist auch [mm] $a^{-1}\in Stab_{x}$.
[/mm]
> Jezt zeigen wir die Existenz der Einheit:
> e $ [mm] \in Stab_{x} [/mm] $
> (e * a)(x) = a(x)
> => x=x
Hier gibt es nichts zu zeigen. Du musst zeigen, dass [mm] $e\in Stab_{x}$, [/mm] d.h. [mm] $e\cdot [/mm] x=x$. Dies ist aber trivial, da dies nach Definition der Operation für alle [mm] $x\in [/mm] M$ gilt.
> Zu Aufgabe 3)
> sorry, aber dazu fällt mir gar nix ein......ich hoffe ihr helft mir trotzdem!
Hierzu benötigst du den Satz von Lagrange. Sei $G$ eine endliche Gruppe und $U$ Untergruppe von $G$. Dann ist [mm] $|G|=|U|\cdot [/mm] [G:U]$, wobei $[G:U]$ die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen von $U$ in $G$ bezeichnet. Insbesondere ist $|U|$ Teiler von $|G|$.
Wie du in (2) gezeigt hast, ist [mm] $Stab_{x}$ [/mm] Untergruppe von $G$. Daher kannst du den Satz von Lagrange auf [mm] $U=Stab_{x}$ [/mm] anwenden und erhälst, dass [mm] $|Stab_{x}|$ [/mm] Teiler von $|G|$ ist.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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