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Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Do 29.06.2006
Autor: Wendy

Aufgabe
a) Wieviele paarweise nicht-isomorphe abelsche Gruppen mit 2006 Elementen gibt es?
b) Wie sieht es nächstes Jahr aus?

Hallo!
Ich weiß mir bei dieser Aufgabenstellung nicht zu helfen- hat irgendjemand von euch vielleicht einen Tip oder eine Hilfestellung für mich? Das wäre echt super!

Vielen Dank im Voraus für Eure Bemühungen
        
Bezug
Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Do 29.06.2006
Autor: Karthagoras

Hallo Wendy,

> a) Wieviele paarweise nicht-isomorphe abelsche Gruppen mit
> 2006 Elementen gibt es?

Es gibt die [mm] $\mbox{ die }\IZ_{2006}, \mbox{ die }\IZ_{1003} \times\IZ_{2}, \mbox{ die }\IZ_{118} \times\IZ_{17}, \mbox{ die }\IZ_{59} \times\IZ_{34}, \mbox{ die }\IZ_{59}\times\IZ_{17}\times\IZ_{2} [/mm] $
bzw. Gruppen, die dazu isomorph sind.

>  b) Wie sieht es nächstes Jahr aus?

Nächstes Jahr gibt es genausoviele kommutative Gruppen mit 2006 Elementen, [clown] wie in diesem Jahr.

Gruß Karthagoras
Bezug
                
Bezug
Gruppen: Danke schön
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 29.06.2006
Autor: Wendy

Hallo!
Vielen Dank für deine Hilfe. Verrätst du mir auch wie man darauf kommt?
:-)

Wendy
Bezug
                        
Bezug
Gruppen: erwischt!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Do 29.06.2006
Autor: Karthagoras

Hallo Wendy,
das ist blöde lange her, war aber einer der wichtigeren Sätze:

Alle endlichen kommutativen Gruppen lassen sich als direktes Produkt ausschließlich zyklischer Gruppen darstellen.

[guckstduhier][]http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe#Eigenschaften

(Puh, [old] noch mal gutgegangen.)

Muss ich was darüber erzählen, dass jede Faktorgruppe isomorph zu einer Untergruppe des Produkts ist?

Bei endlichen Gruppen ist die Ordnung jeder Untergruppe automatisch ein Teiler der Ordnung der Gruppe.

Also kommen als Faktorgruppe selbst nur abelsche Gruppen in Frage, deren Ordnung Teiler von (bei deinem Beispiel) 2006 ist.

Hoffentlich habe ich sie wirklich alle erwischt.
(Es ist 20 Jahre her, dass ich mich das letzte Mal mit abelschen Gruppen beschäftigt hab. [sorry])

Deshalb weiß ich im Moment nicht, was ich noch schreiben soll.

Gruß Karthagoras





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