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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:49 Sa 16.10.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe ein echtes Problem.
Wegen Krankheit habe ich gleich die ersten beiden Vorlesungen Algebra verpasst und nun enorme Schwierigkeiten, mein Ü-blatt zu bearbeiten, da ich mit den Begriffen schon nicht viel anfangen kann.
Hier die Aufgabe:
Sei n>=2.
a)
Zeige, dass [mm] ^p(a_1,...,a_k) [/mm] = [mm] (p(a_1),...,p(a_k)) [/mm] für p und [mm] (a_1,...,a_k) [/mm] aus der symmetrischen Gruppe der Länge n (Was ist das?).
b)
Enthalte die Zykeldarstellung (?) von r aus der symmetrischen Gruppe der Länge n gerade [mm] u_m [/mm] Zykel der Länge m (?) für m aus dem abg. Intervall [1,n].
zykel der Länge 1 sollen berücksichtigt werden.
Gib die Länge der Konjugiertenklasse (?) [mm] |^{S_n}r| [/mm] an.
c)
Gib die Konjugiertenklasse von S _5 samt jeweiliger Länge an, berechnet nach b).
d)
Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so ist
[mm] C_G(U) [/mm] = {g aus G: ^gu = u für alle u aus U} der Zentralisator (?) von U in G.
Gib jeweils eine nicht zyklische Untergruppe von [mm] S_4 [/mm] von Ordnung 4, 8, 12 (?) an, sowie jeweils ihren Normalisator (?) und Zentralisator (?) in [mm] S_4 [/mm] sowie ihr Zentrum(?).
Leider habe ich überhaupt keine Idee und Lösungsvorschlag anzubieten, da mir einige Begriffe (?) neu sind.
Ich hoffe, dass ihr mir auf die Sprünge helfen könnt und ich den Anschluss schnell wieder schaffe!
Schon einmal danke!
gruss,
Wurzelpi
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Grüße!
Hm, meine Algebra ist ein Weilchen her... bin etwas eingerostet. Aber vielleicht kann ich trotzdem helfen. Den Rest müssen dann andere ergänzen. 
Also los: alles dreht sich bei euch erstmal um die symmetrischen Gruppen [mm] $S_n$. [/mm] Diese Gruppen werden auch "Permutationsgruppen" genannt und treten z.B. in der linearen Algebra bei der Berechnung der Determinanten nach Leibniz auf.
Formal kann man [mm] $S_n$ [/mm] als die Menge der Bijektionen [mm] $\sigma [/mm] : [mm] \{1, \ldots, n \} \to \{ 1, \ldots n \}$ [/mm] auffassen, also die Menge der Permutationen einer $n$-elementigen Menge. Die [mm] $S_n$ [/mm] hat demzufolge immer $n!$ Elemente, ist also eine endliche Gruppe (die Verknüpfung ist die Hintereinanderschaltung von Abbildung, neutrales Element die Identität).
Der Clou ist, dass man ein Element aus der [mm] $S_n$ [/mm] in "Zykeldarstellung" schreiben kann. Ist z.B. $n = 5$, dann könnte ein Element so aussehen:
$(1 [mm] \; [/mm] 3) (2 [mm] \; [/mm] 4 [mm] \; [/mm] 5)$
Das würde in dem Fall heißen: das Element vertauscht 1 mit 3 und schiebt die Elemente 2, 4 und 5 zyklisch durch: 2 wird auf 4, 4 auf 5 und 5 wieder auf 2 abgebildet.
Das erklärt also Aufgabe 1. Ist ein Element in Zykelschreibweise gegeben (oder ein Zykel aus einem Element) und ein Element $p$, das als Abbildung aufgefaßt wird, so ist die Gleichung zu beweisen.
"Konjugiertenklasse" ist ein seltsames Wort... kann es sein, dass die Bahn gemeint ist? Da müßtest Du mal jemanden aus der Vorlesung fragen. Die Bahn bzw. der Orbit eines Elementes $h [mm] \in [/mm] G$ ist definiert als $Gh = [mm] \{ gh : g \in G \}$ [/mm] und so sieht eure Schreibweise aus. Gesucht ist jeweils die Anzahl der Elemente dieser Bahn... falls das gemeint ist. (Muß ich nochmal drüber nachdenken, was hier Sinn macht).
Der Zentralisator ist auch etwas seltsam definiert... eigentlich ist die Definition:
[mm] $C_G(U) [/mm] = [mm] \{ g \in G : gu = ug \; \forall \; u \in U \}$. [/mm] Es sind also diejenigen Elemente in $g$, die mit jedem Element aus $U$ kommutieren. Das Zentrum ist sowas Ähnliches: $Z(U) = [mm] C_U(U)$, [/mm] hier läßt man aber nur Elemente aus $U$ zu. Das Zentrum einer Gruppe ist allgemein die Menge der Elemente, die mit allen anderen kommutieren - das Einselement ist immer dabei, aber manchmal eben nicht viel mehr.
Der Normalisator ist die Menge der Elemente in $G$, die das $U$ normalisieren, d.h. [mm] $N_G(U) [/mm] = [mm] \{ g \in G : gug^{-1} \in U \; \forall \; u \in U \}$.
[/mm]
Und eine Untergruppe heißt zyklisch, wenn es ein Element $u$ in $U$ gibt, so dass $U = [mm] \{ u^k : k \in \IN \}$, [/mm] d.h. $U$ wird quasi von einem Element "erzeugt".
Ich hoffe, das hilft erstmal etwas weiter... ansonsten versuche mal, eine Mitschrift von einem Deiner Kommolitonen zu erhalten!
Lars
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:19 Sa 16.10.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Lars!
Vielen Dank für die Erklärung einiger Begriffe.
Das war schon hilfreich.
Doch leider komme ich mit den Aufgaben dennoch noch nicht ganz klar!
Ich hoffe, jemand kann da etwas genauer drauf eingehen!
Gruss,
Wurzelpi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:07 So 17.10.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo zusammen, ich sitzte auch an diesen Aufgaben und komme nicht weiter.
Könnte vielleicht jemand uns einen Tipp oder Anregung hierzu geben. Dass wäre sehr nett. Ich bin echt am verzweifel.
Also bei uns sind die Konjugiertenklassen die Bahnen.
also vielleicht könnte sich jemand dieser hier annehmen.
Nick
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Grüße!
Ok, dann versuche ich mal ein paar Hinweis zu geben.
Aufgabe a) ist anschaulich recht klar. Ich versuche mal euch an einem Beispiel klarzumachen, was gefragt ist:
Sei $n = 5$ und der Zykel $(1 3 4)$ gegeben. Dieser Zykel ist also dasjenige Element der [mm] $S_5$, [/mm] welches 2 und 4 festläßt und 1 auf 3, 3 auf 4 und 4 auf 1 abbildet.
Nun nehmen wir uns noch ein anderes Element $p [mm] \in S_5$, [/mm] d.h. eine andere Bijektion $p : [mm] \{1, 2, 3, 4, 5 \} \to \{1, 2, 3, 4, 5 \}$. [/mm] Dann ist die Behauptung, dass $p [mm] \circ [/mm] (1 3 4) [mm] \circ p^{-1} [/mm] = (p(1) p(3) p(4))$ gilt, das heißt, wenn ich den Zykel mit der Bijektion konjugiere, ich erneut einen Zykel der gleichen Länge erhalte. Und das ist auf Abbildungsebene allgemein zu beweisen.
Mit Aufgabe a) in petto ist b) dann eine eher kombinatorische Aufgabe. Das Element $r$ hat eine Darstellung in disjunkte Zykel und zwar [mm] $u_m$ [/mm] Zykel der Länge $m$. Wenn $r$ also so aussieht:
$r = (2) (5) (7) (6 9) (1 3 4 8)$, dann folgt [mm] $u_1 [/mm] = 3, [mm] u_2 [/mm] = 1, [mm] u_3 [/mm] = 0$ und [mm] $u_4 [/mm] = 1$.
Als Nebenergebnis erhält man die Formel: [mm] $\sum_{j=1}^n [/mm] j [mm] \cdot u_j [/mm] = n$.
Läßt man nun die gesamte [mm] $S_n$ [/mm] auf das $r$ los, dann permutiert man damit die Zykel (nach a), aber ihre Länge und Zahl bleibt gleich, das heiß die Aufgabe lautet: wieviele Möglichkeiten hat man, die $n$ Zahlen auf die Zykel zu verteilen? Dabei sollte man bedenken, dass $(1 3) = (3 1)$ gilt.
Das sind Andeutungen, wie erwähnt und am Geschicktesten wäre es sicherlich, euch die Vorlesung genau anzusehen und dort zu findende Sätze und Methoden anzuwenden.
Zu Aufgabe d) noch: die [mm] $S_4$ [/mm] ist ja sehr überschaubar (24 Elemente), da kann man alle Untergruppen angeben (ist aber auch schon eine gewisse Arbeit) und sich geeignete heraussuchen.
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:43 So 17.10.2004 | | Autor: | Nick |
Danke Lars für deine antwort,
Also zu a) habe ich auch schon eine Lösung. Habe in einem Buch nen ähnlichen Beweis gefunden.Anhand diesem habe ich dann a) gelöst und zwar:
[mm]^p(a_1,...,a_k)=(p(a_1),...,p(a_k)) \forall p(a_1,...,a_k) \in s_n [/mm]
[mm]^p(a_1,...,a_k)=p(a_1,...,a_k)p^{-1}[/mm]
Da [mm](a_1,...,a_k) \mapsto ^p(a_1,...,a_k)[/mm] ein Automorphismus ist, braucht man [mm]^p(a_1,...,a_k)=(p(a_1),...,p(a_k))[/mm] wegen [mm](a_1,...,a_k)=(a_1,a_2)(a_2,a_3)...(a_{k-1},a_k)[/mm] nur für Transpositionen zeigen.
Se also (i,j) eine Transposition und [mm]p \in s_n[/mm], dann erhalten wir
[mm]p(i,j)p^{-1}(n)=\left\{\begin{matrix}
n, & \mbox{wenn } p^{-1}(n) \not\in \{i,j \}\\
p(i), & \mbox{wenn } p^{-1}(n)=j \gdw n= p(j) \\
p(j), & \mbox{wenn } p^{-1}(n) =i \gdw n=p(i)
\end{matrix}\right. [/mm]
[mm] \Rightarrow p(i,j)p^{-1} = (p(i),p(j))=^p(i,j)[/mm]
[mm] \Rightarrow ^p(a_1,...,a_k)=p(a_1,...,a_k)p^{-1}=(p(a_1),...,p(a_k))[/mm]
Zu deinem Tipp zur Aufgabe b)
> Mit Aufgabe a) in petto ist b) dann eine eher
> kombinatorische Aufgabe. Das Element [mm]r[/mm] hat eine Darstellung
> in disjunkte Zykel und zwar [mm]u_m[/mm] Zykel der Länge [mm]m[/mm]. Wenn [mm]r[/mm]
> also so aussieht:
>
> [mm]r = (2) (5) (7) (6 9) (1 3 4 8)[/mm], dann folgt [mm]u_1 = 3, u_2 = 1, u_3 = 0[/mm]
> und [mm]u_4 = 1[/mm].
>
> Als Nebenergebnis erhält man die Formel: [mm]\sum_{j=1}^n j \cdot u_j = n[/mm].
Du hast doch hier mit [mm]S_9[/mm] dann gerechnet. Das die Formel [mm]\sum_{j=1}^n j \cdot u_j = n[/mm] stimmt ist auch logisch. Wenn r=(2)(5)(7)(69)(1348) ist, wäre dann q die Länge von r? Wenn ja, dann könnte man die Länge von r also durch die Summe bestimmen. In meiner Mitschrift habe ich nicht gefunden, wie die Länge von solch einem r bestimmt wird!
Also ich habe da leider noch keine Gesetzmäßigkeit nach langem ausprobieren gefunden. Vielleicht könntet ihr mir noch weiter helfen?
Ich habe mal versucht alle Untergruppen von [mm]s_4[/mm] auf zu schreiben, das ist doch: [mm]s_4= \{(1,2,3,4),(1,3,2,4),(1,4,2,3),(1,2,4,3),(1,3,4,2),(1,4,3,2),(1,2,3),(1,3,2),(1,2,4),(1,4,2),(2,3,4),(2,4,3),(1,3,4),(1,4,3),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),1 \}[/mm].
Leider fehlen mir noch 3. Es können aber nicht 2,3,4 sein, da das sonst ein widerspruch zu [mm]s_3= \{1,(1,2),(2,3),(1,3),(1,2,3),(1,3,2) \}[/mm] wäre (3!=6).
Danke Nick
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Erneuter Gruß!
Ja, der Beweis stimmt so.
> Du hast doch hier mit [mm]S_9[/mm] dann gerechnet. Das die Formel
> [mm]\sum_{j=1}^n j \cdot u_j = n[/mm] stimmt ist auch logisch. Wenn
> r=(2)(5)(7)(69)(1348) ist, wäre dann q die Länge von r?
Was ist $q$? Und was soll die "Länge" von $r$ sein? Der Begriff "Länge" eines Gruppenelementes trat bei uns erst nach Fixierung eines bestimmten Erzeugendensystemes auf und war die geringstmögliche Länge der Darstellung dieses Elementes in den Erzeugenden.
> Ich habe mal versucht alle Untergruppen von [mm]s_4[/mm] auf zu
> schreiben, das ist doch: [mm]s_4= \{(1,2,3,4),(1,3,2,4),(1,4,2,3),(1,2,4,3),(1,3,4,2),(1,4,3,2),(1,2,3),(1,3,2),(1,2,4),(1,4,2),(2,3,4),(2,4,3),(1,3,4),(1,4,3),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),1 \}[/mm].
>
> Leider fehlen mir noch 3. Es können aber nicht 2,3,4 sein,
> da das sonst ein widerspruch zu [mm]s_3= \{1,(1,2),(2,3),(1,3),(1,2,3),(1,3,2) \}[/mm]
> wäre (3!=6).
Die 3 fehlenden Elemente sind:
[mm] $\{ (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) , (1,4)(2,3) \}$
[/mm]
So ein Phänomen tritt in der [mm] $S_3$ [/mm] noch nicht auf, dass man disjunkte 2-Zykel findet. Beide Elemente haben die Ordnung 2, d.h. sie sind zu sich selbst invers.
Viel Glück!
Lars
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