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Gruppen: Aufgabe 3.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Mi 14.11.2007
Autor: michi1706

Aufgabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Áufgabe:
Sei G=(X,°) eine Gruppe mo neutralem Element e. Beweisen sie die folgende Aussage:
Enthält G eine gerade Anzahl von Elementen so existiert ein g EG, g ungleich e mit g°g=e.


Ich würde einen indirekten Bewes machen und ich weiß, dass das neutrale inverse Element eindeutig ist, aber leider weiß ich nicht genau wie ich anfangen soll.


        
Bezug
Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mi 14.11.2007
Autor: andreas

hi

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Áufgabe:
>  Sei G=(X,°) eine Gruppe mo neutralem Element e. Beweisen
> sie die folgende Aussage:
>  Enthält G eine gerade Anzahl von Elementen so existiert
> ein g EG, g ungleich e mit g°g=e.
>  
>
> Ich würde einen indirekten Bewes machen und ich weiß, dass
> das neutrale inverse Element eindeutig ist, aber leider
> weiß ich nicht genau wie ich anfangen soll.

also ein indirekter beweis ist schon eine ganz gute idee. nimm also an die aussage gilt nicht, dann ist für alle $g [mm] \in [/mm] G [mm] \setminus \{ e \} [/mm] : [mm] g^{-1} \not= [/mm] g$, es lassen sich also paare bilden von einem element mit seinem inversen - und diese paare enthalten jeweils zwei verschiedene elemente. wenn du jetzt abzählst, wieviele elemente enthält die gruppe?


grüße
andreas


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Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Mi 14.11.2007
Autor: michi1706

Wie stell ich diese Paare gemeinsam dar?
Und wo it dann da der Widerspruch?

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Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Mi 14.11.2007
Autor: leduart

Hallo
du sttellst sie nicht dar, sondern sagst einfach [mm] g1,g1^{-1}\ne [/mm] g1,
Dann hast du ne gerade Anzahl von Elementen, wie gehts weiter?
Gruss leduart

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Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mi 14.11.2007
Autor: michi1706

Zähle also die Elemente der Folge. Dies müßte eine gerade anzahl ergeben, welches zu Widerspruch der annahme führt. Mein Problem liegt aber darin, das korrekt aufzuschreiben.

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Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Mi 14.11.2007
Autor: michi1706

also ich hab erstmal n text geschrieben und dann noch n nachtrag gemacht mit card [mm] G'\{e}=2n [/mm]  => card G'=2n+1
(2n+1)/2 ist nicht element Z
Das ist ein widerspruch zu card G' ist durch zwei teilbar <=> G' hat eine gerade anzahl von elementen.
ist das so korrekt?


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Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Do 15.11.2007
Autor: leduart

Hallo
ich hab keine Ahnung, was du mit card G meinst.
auch e=2n versteh ich nicht e ist doch das neutrale Element.
Du hast doc zu jedem Element ein Inverses, also ne gerade Anzahl von Elementen dazu noch e,  damit ne ungerade Anzahl also nen Widerspruch.
Gruss leduart.

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Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:17 Do 15.11.2007
Autor: andreas

hi

ich denke mit [mm] $\mathrm{card} \; [/mm] G$ ist die kardinalität der menge gemeint, also [mm] $\mathrm{card} \; [/mm] G = |G|$ und bei der sache mit $e = 2n$ sind einfach ein paar zeichen verloren gegangen - schau dir mal den quelltext an.


grüße
andreas

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Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:19 Do 15.11.2007
Autor: andreas

hi

ich denke wenn du [mm] $\textrm{card} \; [/mm] (G [mm] \setminus \{e\}) [/mm] = 2n$ sauber begründet hast (was ja der kern der aufgabe war), sollte das soweit passen.


grüße
andreas

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