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| Aufgabe | Bestimmen sie alle Gruppen der Ordnung 46,indem sie mit den Sylow-Sätzen Normalteiler finden und mit Kor.1.10. die möglichen Automorphismen der auftretenden zyklischen Gruppen untersuchen,um semidirekte Produkte zu bilden.
Kor.1.10:G =<a> habe Ordnung n, dann
ist b [mm] \in [/mm] G Erzeugendes von G [mm] \gdw \exists [/mm] m teilerfremd zu n : b = [mm] a^m [/mm] |
Hallo,
Ich habe irgendwie noch keine richtige Idee zu dieser Aufgabe.Der 1. Satz von Sylow besagt doch,dass eine Gruppe G eine Untergruppe der Ordnung [mm] p^e hat.(46=p^e*m) [/mm] aber das bringt einen doch gar nicht weiter,da die Sätze von Sylow nur was über die Ordnungen der Untergruppen verraten.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Di 12.05.2009 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
das stimmt, erstmal liefern die Sylow-Sätze nur Aussagen über die Existenz (und damit über die Ordnungen) der Untergruppen. Du solltest Dir folgende Fragen stellen:
- Welche Untergruppen gibt es damit auf jeden Fall?
- Welche Möglichkeiten gibt es für die Anzahl der entsprechenden p-Sylows (bei der gängigsten Nummerierung 2. Sylowsatz)?
- Welche Ordnung haben die Elemente einer p-Sylowgruppe (Stichwörter Lagrange, zyklische Gruppe)?
- Wie sieht der Schnitt zweier p-Sylow-UG bzw. einer p- und einer q-Sylowgruppe aus?
Gruß,
Kyle
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Hallo,
Danke für deine Antwort.Also zwei offensichtliche Untergruppen sind ja schonmal,die Gruppe G selbst und die Untergruppe,die nur aus dem neutralen Element besteht.
Nach dem 1. Satz von Sylow müsste es ja eine p-sylowUntergruppe von G der Ordnung [mm] p^e geben(n=p^e*m).die [/mm] einzigen Primzahlen die die 46 teilen sind die 23 und 2.also
[mm] 46=2^1*23
[/mm]
[mm] 46=23^1*2
[/mm]
Da die Ordnung der beiden p-sylowuntergr.prim ist,sind sie zyklische Gruppen.
Ja und der Satz von Lagrange besagt,dass die Ordnung von der Untergruppe ein Teiler der Ordnung der Gruppe ist.Aber dass 23 und 2 Teiler von G sind,ist doch bereits vorher schon klar.Inwiefern hilft mir der Satz v.Lagrange?
Auf deine letzte Frage weiß ich leider keine Antwort.
Gruß
eva-marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mi 13.05.2009 | | Autor: | BBFan |
Man kann das Resultat sogar verallgemeinern:
Du hast eine Gruppe der Ordnung pq vorliegen, wobei p und q. Damit gibt es 2 Normalteiler, nämlich die beiden Sylowuntergruppen (warum?).
Wenn man nun das Semidirekte Produkt der beiden Gruppen betrachtet ist klar, das für die Abbildung [mm] \phi [/mm] nicht nur die triviale Abbildung in Frage kommt(Warum?) (Tipp: 2 teilt 22)
Damit gibt es genau 2 Isomorphieklassen, nämlich die Isomorphieklasse, falls [mm] \phi [/mm] trivial ist, womit die Gruppe zu [mm] \IZ/pq\IZ [/mm] isomorph wäre. Die zweite Isomorphieklasse entsteht, wenn man [mm] \phi [/mm] nicht trivial wählt und es folgt eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 46 (Beachte, dass das Resultat hergibt, dass somit alle nicht abelschen Gruppen der Ordnung 46 isomorph sind.
Gruss
BBFan
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Hallo,
Irgendwie komme ich nicht auf die nichttriviale Isomorphieklasse....kannst du mir vielleicht noch einen kleinen Tipp geben?
Die erste ist soweit [mm] klar:Z_{2} [/mm] x [mm] Z_{23}
[/mm]
Liebe Grüße
eva marie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Sa 16.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
Kann mir vielleicht nochmal jemand ein wenig helfen?Es gilt doch,wenn G abelsch ist,so ist das semidirekte Produkt direkt und G [mm] \cong Z_{p*q}.Ist [/mm] G in unserem Fall abelsch?Ich versteh irgendwie das ganze mit Isomorphieklassen noch nicht.Vor allem,in wie fern bringt mich das mit der Anzahl der Gruppen der Ordnung 46 weiter?
Danke.
Grüße
eva marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 17.05.2009 | | Autor: | BBFan |
Eben darum geht es: Ist G abelsch!
Gibt es nur den trivialen Isomorphismus im Semidirekten Produkt (der alles auf die Identität schickt), so geht das Semidirekte Produkt in das direkte über. Gibt es aber einen nichttrivialen Iso. so ist die Gruppe nicht abelsch und nicht isomorph zu: [mm] C_2 \times C_{23}. [/mm]
Erstmal weiss man, dass [mm] Aut(C_{23}) [/mm] isomorph ist zur Einheitengruppe der [mm] C_{23}, [/mm] also 22 Elemente hat. Wenn es nun einen nichttrivialen Isomorphismus aus der [mm] C_2 [/mm] gibt, muss der 0 auf id abbilden und 1 auf einen Erzeuger der Einheiten von [mm] C_{23} [/mm] abbilden. Geht das?
Argumentiere mit Kern und Bild.
Gruss
BBFan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 14.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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