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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 13.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
Es sei M= { x [mm] \in \IQ [/mm] | es existiert n [mm] \in \IZ: x=2^n}, [/mm] weiter bezeichne . und + die gewöhnliche Multiplikatio und addition von zahlen.
Zeigen Sie (M, . ) ist eine abelsche Gruppe.
wenn ich die G2) zeigen wollen würde wie müsste ich da jetzt rangehen?
(a*b)*c = a*(b*c)
??
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Hi,
> Es sei $M= [mm] \{ x\in \IQ | es existiert n \in \IZ: x=2^n\}$,
[/mm]
> weiter bezeichne . und + die gewöhnliche Multiplikatio und
> addition von zahlen.
>
> Zeigen Sie (M, . ) ist eine abelsche Gruppe.
>
> wenn ich die G2) zeigen wollen würde wie müsste ich da
> jetzt rangehen?
>
> (a*b)*c = a*(b*c)
>
> ??
Es ist [mm] $M=\{ x \in \IQ| \text{ es existiert } n \in \IZ: x=2^n\}=\{2^n|n\in\IZ\}\subset \IQ$. [/mm] Nun kannst du arbeiten
Assoziativität:
[mm] a=2^{n_a},b=2^{n_b},c=2^{n_c}\in [/mm] M, dann
[mm] a\*(b\*c)=2^{n_a}\*(2^{n_b}*2^{n_c})=2^{n_a}*(2^{n_b+n_c})=2^{n_a+n_b+n_c}=\ldots
[/mm]
Gruß
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so nachdme man das umgestellt hat landet man bei
[mm] (2^{n_a} 2^{n_b})* (2^{n_c})
[/mm]
somit G2 erfüllt.
G3 neutrales element:
da müsste ich doch folgendermaßen vorgehen oder:
[mm] e*(2^n)= 2^n [/mm] dies ist der Fall für e=1
= [mm] 1*(2^n)= 2^n
[/mm]
G4) inverses element:
[mm] (2^n)´ [/mm] * [mm] 2^n [/mm] = 1
[mm] (2^n)´ [/mm] = 1 / [mm] (2^n)
[/mm]
und weiter? :S
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> so nachdme man das umgestellt hat landet man bei
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> [mm](2^{n_a} 2^{n_b})* (2^{n_c})[/mm]
>
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> somit G2 erfüllt.
>
> G3 neutrales element:
>
> da müsste ich doch folgendermaßen vorgehen oder:
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> [mm]e*(2^n)= 2^n[/mm] dies ist der Fall für e=1
Und wie stellt sich das in der gruppe dar?
[mm] $2^0=1$! [/mm] Es ist aber richtig.
>
> = [mm]1*(2^n)= 2^n[/mm]
>
> G4) inverses element:
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> [mm](2^n)´[/mm] * [mm]2^n[/mm] = 1
>
> [mm](2^n)´[/mm] = 1 / [mm](2^n)[/mm]
>
> und weiter? :S
Potenzgesetze. So wied das dasteht "weiß man" nicht ob 1 / [mm] $(2^n)$ [/mm] in der Gruppe ist. Die Exponenten liegen in [mm] $\IZ$. [/mm] Und außerdem gilt: [mm] $\frac{1}{a^b}=a^{-b}$. [/mm] Jetzt du.
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ahso ...
[mm] (2^n)´= [/mm] 2^-n
so fertig?
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> ahso ...
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> [mm](2^n)´=[/mm] 2^-n
>
> so fertig?
Für das Inverse. ja.
Wie sieht es mit abelsch aus?
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