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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | | Geben Sie für jedes k [mm] \ge [/mm] 1 eine Gruppe G mit [mm] 2^{k} [/mm] Elementen an, in der [mm] g^{2}=e [/mm] für jedes Gruppenelement g [mm] \in [/mm] G gilt. e ist dabei das neutrale Element der Gruppe G. |
Ich versteh leider nicht was ich hier machen soll.
[mm] 2^{k} [/mm] elemente kann man ja einer Gruppe gegen und die bedingung dass [mm] g^{2}=e [/mm] gilt müsste man über eine Verknüpfungstabelle begründen.
aber dann müsste ich doch für unendlich viele Gruppen eine solche Tabelle machen oder?
ich komme hier leider nicht weiter :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Sa 12.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geben Sie für jedes k [mm]\ge[/mm] 1 eine Gruppe G mit [mm]2^{k}[/mm]
> Elementen an, in der [mm]g^{2}=e[/mm] für jedes Gruppenelement g
> [mm]\in[/mm] G gilt. e ist dabei das neutrale Element der Gruppe G.
>
> Ich versteh leider nicht was ich hier machen soll.
Nunja: eine Familie von Gruppen angeben. In einer moeglichst abstrakten Form, sprich: ohne Verknuepfungstabellen.
> [mm]2^{k}[/mm] elemente kann man ja einer Gruppe gegen und die
> bedingung dass [mm]g^{2}=e[/mm] gilt müsste man über eine
> Verknüpfungstabelle begründen.
Man kann auch auf die Tabelle verknuepfen. Es sei denn du hast abzaehlbar unendlich viel Papier und Zeit zur Verfuegung.
> ich komme hier leider nicht weiter :(
Kennst du solche Gruppen der Ordnung 2, 4 und evtl. 8? Wie kannst du sie mit moeglichst wenig Aufwand beschreiben? (Ich denke da insbesondere an das kartesische Produkt.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Ayame |
sei man k=1 also soll die Gruppe 2 elementen haben
[mm] G=\{0,1\}
[/mm]
Da 1 auch ihr eigenes inverses ist, ist (G,*) eine Gruppe.
ich kann das auch für k=2 oder k=3 machen, aber wie ich alles in eines Formel zusammenfasse weiß ich leider nicht.
wie meinst du das mit dem kartesischen Produkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 So 13.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> sei man k=1 also soll die Gruppe 2 elementen haben
> [mm]G=\{0,1\}[/mm]
> Da 1 auch ihr eigenes inverses ist, ist (G,*) eine
> Gruppe.
Dieses $G$ ist gerade die Gruppe [mm] $\IZ/2\IZ$.
[/mm]
Es ist bei der Aufagabe nicht ganz leicht Tipps zu geben ohne die komplette Lösung bereits zu verraten.
Du könntest dir zunächst überlegen, dass jede Gruppe $G$, in der [mm] $g^2=e$ [/mm] für alle $g [mm] \in [/mm] G$ gilt, abelsch ist. Du suchst also endliche abelsche Gruppen der Ordnung [mm] $2^k$.
[/mm]
Habt ihr den Klassifikationssatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen gemacht? Mit dem wäre man schnell am Ziel. Man kann nämlich endliche abelsche Gruppen als kartesisches Produkt zyklischer Gruppen (also Gruppen der Form [mm] $\IZ/n\IZ$) [/mm] schreiben.
Wenn ihr den Satz noch nicht hattet, gehe mal direkt an das Beispiel 4 ran. Welche Gruppen der Ordnung 4 kennst du? In welcher davon gilt [mm] $g^2=e$ [/mm] für alle $g$?
Ich hoffe, dir helfen die Tipps weiter.
> wie meinst du das mit dem kartesischen Produkt?
http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 13.11.2011 | | Autor: | Ayame |
Leider kenn ich den Klassifikationssatz nicht.
Also ich versuch mal mein Wissen zu ordnen:
Gruppe G soll [mm] 2^{k} [/mm] elemente haben mit k [mm] \ge [/mm] 1
[mm] 2^{1}=2
[/mm]
Gruppen : [mm] \IZ/2\IZ
[/mm]
[mm] 2^{2}=4
[/mm]
Gruppen : [mm] \IZ/4\IZ [/mm] und [mm] \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ
[/mm]
[mm] 2^{3}=8
[/mm]
Gruppen : [mm] \IZ/8\IZ [/mm] und [mm] \IZ/4\IZ \oplus \IZ/4\IZ [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 So 13.11.2011 | | Autor: | hippias |
Vielleicht hilft Dir dies als Tip: Mit Hilfe des Cartesischen Produktes kannst Du aus zwei Gruppen eine neue machen: Man rechnet in der neuen Gruppe einfach komponentenweise $(a,b)(x,y)= (ax, by)$. Mit etwas Glueck und Geschick kannst Du damit Gruppen beliebiger Ordnung konstruieren, die die geforderten Eigenschaften.
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