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| Aufgabe | Wir definieren für a,b [mm] \in \IN [/mm] die Menge [mm] a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] := {n [mm] \in \IZ| [/mm] n = ar + bs für geeignete Zahlen r,s [mm] \in \IZ [/mm] }.
a) Zeigen Sie, dass [mm] a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] eine Untergruppe von [mm] (\IZ,+) [/mm] ist.
b) Finden Sie ein d [mm] \in \IN, [/mm] sodass es einen Isomorphismus von [mm] (d\IZ [/mm] := { dn| n [mm] \in \IZ [/mm] },+) nach [mm] a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] gibt. |
Finde weder bei a) noch bei b) einen Ansatz, insbesondere wegen der Definition von [mm] a\IZ [/mm] + b [mm] \IZ.
[/mm]
Das ra + bs erinnert mich stark an die Darstellung eines ggT.
Weiß aber nicht genau, was ich damit anfangen soll.
Hoffe auf Hilfe
mfg ConstantinJ
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moin Constantin,
Fang am besten mal mit der b) an, das dürfte praktisch sein.
Der ggT ist eine sehr gute Idee, zeige also am besten:
[mm] $a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] = [mm] ggT(a,b)\IZ$
[/mm]
Bedenke, dass das Mengen sind, also zeige die Gleichheit der Mengen.
Wenn du diese Gleichheit hast, ist es auch kein Problem mehr einen Isomorphismus anzugeben (einfach die Identität).
Die Überlegungen, die du dabei anstellst, dürften bei der a) auch hilfreich sein. ;)
lg
Schadow
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Ich glaube ich hab das falsch verstanden.
Also [mm] a\IZ+b\IZ [/mm] = [mm] ggT(a,b)\IZ [/mm] gilt ja nicht allgemein, aber der ggT(a,b)
ist für geeignete r,s [mm] \in \IZ [/mm] durch [mm] a\IZ +b\IZ [/mm] darstellbar?
ich hab aber noch immer keine Idee wie ich das angehen soll ...
steh grad etwas auf em Schlauch
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> Ich glaube ich hab das falsch verstanden.
>
> Also [mm]a\IZ+b\IZ[/mm] = [mm]ggT(a,b)\IZ[/mm] gilt ja nicht allgemein,
Wieso nicht?
Hast du ein Gegenbeispiel?
Also ich behaupte einfach mal ganz dreist, dass es sehr wohl allgemein gilt; beweisen darfst du das. ;)
aber
> der ggT(a,b)
> ist für geeignete r,s [mm]\in \IZ[/mm] durch [mm]a\IZ +b\IZ[/mm]
> darstellbar?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ich hab aber noch immer keine Idee wie ich das angehen soll
> ...
> steh grad etwas auf em Schlauch
Lässt sich der ggT darstellen, etwa in der Form $r*a + s*b$.
Kann dann auch ein Vielfaches des ggT dargestellt werden?
Lässt sich eine Zahl (betragsmäßig) kleiner als der ggT darstellen (außer der 0)?
lg
Schadow
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> Lässt sich der ggT darstellen, etwa in der Form [mm]r*a + s*b[/mm].
>
> Kann dann auch ein Vielfaches des ggT dargestellt werden?
> Lässt sich eine Zahl (betragsmäßig) kleiner als der ggT
> darstellen (außer der 0)?
>
>
> lg
>
> Schadow
Also der ggT(a,b) lässt sich in jedem fall durch n=ra + sb darstellen.
Auch ein Vielfaches lässt sich darstellen mit:
n = ra + sb
n' = r'a +s'b ( n'=kn, r'=kr, s'=ks , [mm] k\in \IZ [/mm] \ {0,1}
Und es lässt sich auch keine betragsmäßig kleinnere Zahl darstellen, als den ggT.
Ich komm aber nicht drauf wie mich das weiterbringt.
Ich seh doch nur, dass : [mm] ggT(a,b)\IZ \subset a\IZ+b\IZ
[/mm]
oder kann ich durch das : für geeignete Zahlen r,s [mm] \in \IZ [/mm]
festlegen, dass ich nur r,s benutze bei denen dann gilt n=ggT(a,b) ?
mfg ConstantinJ
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> > Lässt sich der ggT darstellen, etwa in der Form [mm]r*a + s*b[/mm].
>
> >
> > Kann dann auch ein Vielfaches des ggT dargestellt werden?
> > Lässt sich eine Zahl (betragsmäßig) kleiner als der
> ggT
> > darstellen (außer der 0)?
> >
> >
> > lg
> >
> > Schadow
>
> Also der ggT(a,b) lässt sich in jedem fall durch n=ra + sb
> darstellen.
> Auch ein Vielfaches lässt sich darstellen mit:
> n = ra + sb
> n' = r'a +s'b ( n'=kn, r'=kr, s'=ks , [mm]k\in \IZ[/mm] \ {0,1}
> Und es lässt sich auch keine betragsmäßig kleinnere
> Zahl darstellen, als den ggT.
>
> Ich komm aber nicht drauf wie mich das weiterbringt.
> Ich seh doch nur, dass : [mm]ggT(a,b)\IZ \subset a\IZ+b\IZ[/mm]
das ist doch schonmal gut.
Für die andere Richtung musst du zeigen: alles was in der rechten Seite drinnliegt, ist auch in der linken Seite drinn.
Seien dafür also $r,s [mm] \in \IZ$ [/mm] beliebig.
Zeige, dass $a*r + b*s$ durch ggT(a,b) teilbar ist, also in der linken Seite drinnliegt.
Dann hast du die Gleichheit der Mengen.
lg
Schadow
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> das ist doch schonmal gut.
> Für die andere Richtung musst du zeigen: alles was in der
> rechten Seite drinnliegt, ist auch in der linken Seite
> drinn.
> Seien dafür also [mm]r,s \in \IZ[/mm] beliebig.
> Zeige, dass [mm]a*r + b*s[/mm] durch ggT(a,b) teilbar ist, also in
> der linken Seite drinnliegt.
> Dann hast du die Gleichheit der Mengen.
>
> lg
>
> Schadow
>
da ich ja behaupte n = ggT(a,b)
und n = ra +sb
ist doch klar dass: ggT(a,b)|ra+sb
aber n muss doch gar nicht der ggT(a,b) sein, denn
r,s [mm] \in \IZ [/mm] beliebig:
a=2, b=3, r=2, s=2
n=10 und 10 teilt weder 2 noch 3
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aber wenn ich ja jetzt das :
geeignete Zahlen r,s [mm] \in \IZ [/mm] mit einbeziehe :
geeignte Zahlen sind: r=5 und s = -3
a=2, b=3
dann:ra+sb=n=1
1|2 [mm] \wedge [/mm] 1|3
also n= ggT (a,b)
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also hab mir das noch mal überlegt :
Da sich ggT(a,b) durch ra + sb , r,s [mm] \in \IZ [/mm] dartsellen lässt (siehe Satz)
gilt für geeignete Zahlen r,s:
n = ggT(a,b)
kann ich das so voraussetzen ?
dann hab ich ja r,s ( durch das geeignete Zahlen) ja so eingeschränkt, dass immer ra+sb= ggT(a,b) gilt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Do 17.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Also ich muss diese Aufgabe auch lösen, hab bei der b) auch keine Ahnung, wie ich das machen soll...
Aber muss man die a) denn so ,,umständlich'' machen, wenn man es mal rein logisch angeht, ist doch klar das es eine Untergruppe sein muss, denn:
1. n ist eine ganze Zahl, addiere ich jetzt wieder eine ganze Zahl hinzu, liegt das Ergebnis doch folglich wieder in Z.
n=ar+bs+(ap+bq) = a(r+p)+b(s+q) [mm] \in [/mm] Z.
2. Auch das inverse liegt in Z: -(ar+bs) = -ar-bs ist [mm] \in [/mm] Z.; fertig
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich muss diese Aufgabe auch lösen, hab bei der b)
> auch keine Ahnung, wie ich das machen soll...
> Aber muss man die a) denn so ,,umständlich'' machen,
Die ganze Diskission oben dreht sich um Teil b) !!!
> wenn
> man es mal rein logisch angeht,
Wie soll man es sonst angehen ?
> ist doch klar das es eine
> Untergruppe sein muss, denn:
> 1. n ist eine ganze Zahl, addiere ich jetzt wieder eine
> ganze Zahl hinzu, liegt das Ergebnis doch folglich wieder
> in Z.
> n=ar+bs+(ap+bq) = a(r+p)+b(s+q) [mm]\in[/mm] Z.
> 2. Auch das inverse liegt in Z: -(ar+bs) = -ar-bs ist [mm]\in[/mm]
> Z.; fertig
Da hast Du recht.
Ich habe fertig FRED
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> Die ganze Diskission oben dreht sich um Teil b) !!!
Ja, hast Recht, ich meine ja nur, weil vorgeschlagen wurde, zunächst teil b) zu machen...
Der sich mir übrigens immernoch nicht erklärt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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also hab mir das noch mal überlegt :
Da sich ggT(a,b) durch ra + sb , r,s [mm] \in \IZ [/mm] dartsellen lässt (siehe Satz)
gilt für geeignete Zahlen r,s:
n = ggT(a,b)
(kann ich das so voraussetzen ?
dann hab ich ja r,s ( durch das geeignete Zahlen) ja so eingeschränkt, dass immer ra+sb= ggT(a,b) gilt.)
z.z.: [mm] a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] = [mm] ggT(a,b)\IZ
[/mm]
n [mm] \in ggT(a,b)\IZ
[/mm]
=> n= ggT(a,b)
Da ggT(a,b) darstellbar ist durch:
ra+sb mit r,s [mm] \in \IZ [/mm] gilt: n [mm] \in a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ
[/mm]
=> [mm] ggT(a,b)\IZ \subseteq a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ
[/mm]
n [mm] \in a\IZ +b\IZ [/mm]
n = ra+sb
ra+sb = ggT(a,b) (n.V.)
=> n [mm] \in ggT(a,b)\IZ [/mm]
[mm] a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ \subseteq ggT(a,b)\IZ [/mm]
=> [mm] a\IZ [/mm] + [mm] b\IZ [/mm] = [mm] ggT(a,b)\IZ
[/mm]
Ich weiß nicht ob das, so richtig ist.
Und wie komm ich jetzt zu dem Isomorphismus ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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