Gruppen der Ordnung pq < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Di 10.03.2009 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo!
Ich bin gerade dabei zu zeigen, wieviele Gruppen der Ordnung pq es bis auf Isomorphie gibt für den Fall p>q und q| p-1.
Ich weiß das es genau zwei Gruppen sind nämlich die zyklische und die Gruppe die gegeben ist durch
[mm] $x^{p}=e, \quad y^{q}=e \quad yxy^{-1}=x^{i} \quad \mbox{mit} \quad i^{q} \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p}$. [/mm]
Für den Fall das es eine q-sylowgruppe in g ist habe ich die zyklische Gruppe raus. Jetzt bin ich bei dem Fall, dass es p q-Sylowgruppen in G gibt. Ich habe auch schon gezeigt, dass gilt [mm] $yxy^{-1}=x^{i}$ [/mm] mit [mm] $i^{q} \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p}$. [/mm] Jetzt weiß ich nur nicht wie ich zeigen soll, dass es nicht mehr als eine Gruppe dieser Art bis auf Isomorphie gibt. Habe mir dazu eine zweite Gruppe der Form gewählt:
$$ x'^{p}=e [mm] \quad [/mm] y'^{q}=e [mm] \quad y'x'y'^{-1}=x'^{i^{j}} \quad \mbox{mit} \quad i^{q} \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p} \; \mbox{und} \; j\equiv 1\pmod{p}.$$ [/mm] Kann ich jetzt einfach sagen, dass es einen Isomorphismus gibt, der x' auf x abbildet und y auf [mm] $y^{j}$ [/mm] ?
Wäre schön, wenn mir da jemand weiter helfen könnte!
Viele Grüße
Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Do 12.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich bin gerade dabei zu zeigen, wieviele Gruppen der
> Ordnung pq es bis auf Isomorphie gibt für den Fall p>q und
> q| p-1.
> Ich weiß das es genau zwei Gruppen sind nämlich die
> zyklische und die Gruppe die gegeben ist durch
> [mm]x^{p}=e, \quad y^{q}=e \quad yxy^{-1}=x^{i} \quad \mbox{mit} \quad i^{q} \equiv 1 \pmod{p}[/mm].
> Für den Fall das es eine q-sylowgruppe in g ist habe ich
> die zyklische Gruppe raus. Jetzt bin ich bei dem Fall, dass
> es p q-Sylowgruppen in G gibt. Ich habe auch schon gezeigt,
> dass gilt [mm]yxy^{-1}=x^{i}[/mm] mit [mm]i^{q} \equiv 1 \pmod{p}[/mm]. Jetzt
> weiß ich nur nicht wie ich zeigen soll, dass es nicht mehr
> als eine Gruppe dieser Art bis auf Isomorphie gibt. Habe
> mir dazu eine zweite Gruppe der Form gewählt:
>
> [mm]x'^{p}=e \quad y'^{q}=e \quad y'x'y'^{-1}=x'^{i^{j}} \quad \mbox{mit} \quad i^{q} \equiv 1 \pmod{p} \; \mbox{und} \; j\equiv 1\pmod{p}.[/mm]
> Kann ich jetzt einfach sagen, dass es einen Isomorphismus
> gibt, der x' auf x abbildet und y auf [mm]$y^{j}$[/mm] ?
Nun, du musst das schon beweisen.
Dazu:
1) Zeige, dass sich jedes Element aus $G$ als [mm] $x^a y^b$ [/mm] darstellen laesst mit $0 [mm] \le [/mm] a < p$, $0 [mm] \le [/mm] b < q$.
2) Stelle [mm] $x^a y^b x^c y^d$ [/mm] in dieser Form da (benutze dafuer $y x = [mm] x^i [/mm] y$).
3) Wenn [mm] $\varphi$ [/mm] jetzt [mm] $x^a y^b$ [/mm] auf [mm] $(x')^a ((y')^j)^b$ [/mm] abbildet, wird das ganze dann ein Homomorphismus?
Falls nicht, solltest du dadurch eine Idee bekommen wie du das Bild von $y$ waehlen musst.
(Ein Tipp: da die Ordnung von $y$ prim ist, ist auch [mm] $y^i$ [/mm] ein Generator von [mm] $\langle [/mm] y [mm] \rangle$ [/mm] solange $i$ nicht durch die Gruppenordnung teilbar ist. Also kannst du jedes [mm] $y^b$ [/mm] auch als [mm] $y^{i c}$ [/mm] schreiben mit $c [mm] \in \IZ$.)
[/mm]
LG Felix
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