Gruppenbeweis Assoziativität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Di 08.11.2005 | | Autor: | tuschka |
halli hallo,
wir haben für unsere Übung folgende Aufgaben bekommen:
Untersuchen sie mit Beweis ob in den folgenden Fällen eine Gruppe vorliegt:
1. Die Menge /IR mit der Verknüpfung
für alle x,y e /IR: x*y:=3x+4y
2. Die Menge G:= {x e /IR| |x|<1} mit der Verknüpfung
für alle x,y e G: x*y:= (x+y)/(1+xy).
Nun hänge ich schon beim Beweis der Assoziativität, d.h. dass (a*b)*c = a*(b*c)
Bei der ersten Aufgabe ist es ja einigermaßen leicht. Man untersucht ob:
3a + 4(3b+4c) = 3(3a+4b) +4c, wobei ich auf einen Widerspruch komme mit: 3a + 12b +16c =9a+12b+4c ist falsch.
Stimmt das?
Wie lautet die Formel, die man formt, um die Assoziativität für2. zu beweisen?? Ich rechen hin und her und komme nicht drauf.
Ich würd mich seeehr freun könnte mir einer weiterhelfen.
Entschuldigung für die Formeln. Das Formelsystem funktionierte auf dem Rechner nicht richtig =/.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:16 Mi 09.11.2005 | | Autor: | tuschka |
Juden morschen,
Entschuldigung nochmal für das Formelwirrwarr, der Rechner an dem ich war konnte die Formeln einfach nicht übersetzen =/
Ich habe nochmal über meine Frage nachgedacht:
Für alle [mm] x,y\in [/mm] G : x*y := [mm] \bruch{x+y}{1+xy} [/mm] überhaupt eine Gruppe sein.
Eine Gruppe ist doch definiert durch eine Menge G und einer Verknüpfung.
Aber in diesem Falle hätte die "Gruppe" doch mindestens zwei Verknüpfungen.
Die Addition im Zähler und die Multiplikation im Nenner. Also wären die Vorraussetzungen für eine Gruppe doch gar nicht erfüllt oder?
So früh und schon so aktiv :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen tuschka!
Bei der hier definierten Verknüpfung [mm] $x\otimes [/mm] y \ := \ [mm] \bruch{x+y}{1+xy}$ [/mm] sind doch lediglich unsere bekannte Addition bzw. Division als Hilfsmittel verwendet worden.
Für die betrachtete Gruppe ist dies jedoch eine Verknüpfung, die mit den uns bisher bekannten Rechenoperationen dargestellt wird.
Nun etwas klar(er) mit dieser morgendlichen (und daher verbesserungsfähigen) Erklärung?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Mi 09.11.2005 | | Autor: | tuschka |
mein problem ist dass im zähler noch x * y steht .. diese also durhc eine multiplikation verknüpft sind... ich dachte das wären dann zwei verknüpfung oben die addition und unten die multiplikation.. =?=?
wenn dem nicht so der fall ist und dies kein gegenbeweis für die gruppe darstellt.. könntest du mir vielelicht einen tipp geben wie ich die assoziativität beweisen kann ?=?=
ich danke dir viielmals =)
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> mein problem ist dass im zähler noch x * y steht .. diese
> also durhc eine multiplikation verknüpft sind... ich dachte
> das wären dann zwei verknüpfung oben die addition und unten
> die multiplikation.. =?=?
Hallo,
inzwischen naht die Mittagszeit, das steigert die Chancen enorm...
Lies Dir nochmal Loddars Erklärung ganz in Ruhe durch.
Dem ist wenig hinzuzufügen. Du hast eine Menge G zusammen mit einer Verknüfung [mm] \otimes. [/mm]
Wenn Du nun die Assoziativität prüfen willst, mußt Du nachgucken, ob für alle x,y,z [mm] \in [/mm] G
(x [mm] \otimes [/mm] y) [mm] \otimes [/mm] z = x [mm] \otimes [/mm] (y [mm] \otimes [/mm] z ) gilt.
Was auf dem Weg von (x [mm] \otimes [/mm] y) [mm] \otimes [/mm] z = ... bis ...= x [mm] \otimes [/mm] (y [mm] \otimes [/mm] z ) passiert, also da, wo die drei Punkte sind, interessiert für diese Fragestellung
nicht so sehr. Sofern es richtig ist.
Es sind Hilfen.
So, als würde man ein Gerüst aufbauen, um den Hahn von Kirchturm zu holen, und beim Herunterklettern wieder abbauen. Zuerst: güldener Hahn da. Hinterher: güldener Hahn weg. Gerüst: keine Spur!
Nun rechne mal los und guck halt nach, ob rechts und links dasselbe herauskommt.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo tuschka!
Im ersten Fall gibst du am besten ein Gegenbeispiel an:
$(1 [mm] \star [/mm] 0) [mm] \star [/mm] 0 = 9 [mm] \ne [/mm] 3 = 1 [mm] \star [/mm] (0 [mm] \star [/mm] 0)$.
Im zweiten Fall rechnest du einfach hemmungslos:
$(x [mm] \star [/mm] y ) [mm] \star [/mm] z = [mm] \frac{\frac{x+y}{1+xy} + z}{1 + \frac{x+y}{1+xy} \cdot z} [/mm] = [mm] \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz} [/mm] = [mm] \frac{x+xyz+y+z}{1+zy+xy+xz} [/mm] = [mm] \frac{x + \frac{y+z}{1+yz}}{1 + x \cdot \frac{y+z}{1+yz}} [/mm] = x [mm] \star [/mm] (y [mm] \star [/mm] z)$.
Naja, so gülden war der Hahn gar nicht. Eher ziemlich blechern... 
Liebe Grüße
Stefan
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