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| Aufgabe | Sei f : G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Sei U [mm] \le [/mm] H eine Untergruppe.
Zeigen Sie, dass das Urbild von U unter f, also [mm] f^{-1}(U), [/mm] eine Untergruppe von G ist. |
Hi,
Ich habe mir mal aufgeschrieben, was ich alles dazu weiß und was evtl. nützlich sein könnte:
[mm] f(e_{G})=e_{H}=e_{U}, [/mm] allerdings weiß ich nicht, ob [mm] e_{G} \in f^{-1}(U) [/mm]
Ker(f):= [mm] f^{-1}({e_{H}}) [/mm] = {a [mm] \in [/mm] G|f(a) = [mm] e_{H} [/mm] }, Ker(f) [mm] \le [/mm] G
(bringt mir das mit dem Ker(f) etwas? Ker(f) ist ja die Menge aller a [mm] \in [/mm] G, für die [mm] f(a)=e_{H}(=e_{U}) [/mm] gilt. [mm] e_{G} [/mm] wär ja so ein a. Wenn [mm] e_{G} [/mm] das einzige Element ist, welche diese Eigenschaft erfüllt, dann wüsst ich ja schonmal, dass [mm] f^{-1} [/mm] ein neutrales Element hat. Theoretisch könnten aber noch andere a [mm] \in [/mm] G diese Eigenschaft haben (,oder? ) )
Und ich weiß noch, da Gruppenhomom.: f(a*b) = f(a) [mm] \circ [/mm] f(b), a,b [mm] \in [/mm] G
Nun zum Beweis: ich überprüfe die Gruppenaxiome
(U1) Abgeschlossenheit
Seien a,b [mm] \in f^{-1}(U) \Rightarrow \exists [/mm] u,v [mm] \in [/mm] U: [mm] a=f^{-1}(u), b=f^{-1}(v). [/mm]
u [mm] \circ [/mm] v [mm] \in [/mm] U. a*b = [mm] f^{-1}(u) [/mm] * [mm] f^{-1}(v) [/mm] . So, jetzt kann ich ja aber nicht sagen, dass [mm] f^{-1}(u) [/mm] * [mm] f^{-1}(v) [/mm] = [mm] f^{-1}(u \circ [/mm] v), das gilt ja nur für f und nicht [mm] f^{-1}. \Rightarrow [/mm] weiß nicht, wie es weiter geht.
(U2) Neutrtrales Element
Das, was ich oben schon geschrieben habe: ich weiß zwar, dass [mm] f^{-1}(e_{H}=e_{U}) [/mm] = [mm] e_{G}. [/mm] Aber ob [mm] e_{G} [/mm] auch das neutrale Element in [mm] f^{-1} [/mm] weiß ich nicht.
(U3) Inverses Element.
Keine Idee :-(
Bin für jeden Tipp dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 So 28.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei f : G [mm]\to[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Sei U [mm]\le[/mm] H eine
> Untergruppe.
> Zeigen Sie, dass das Urbild von U unter f, also [mm]f^{-1}(U),[/mm]
> eine Untergruppe von G ist.
>
>
> Ich habe mir mal aufgeschrieben, was ich alles dazu weiß
> und was evtl. nützlich sein könnte:
> [mm]f(e_{G})=e_{H}=e_{U},[/mm] allerdings weiß ich nicht, ob [mm]e_{G} \in f^{-1}(U)[/mm]
Da [mm] $e_U \in [/mm] U$, ist doch [mm] $e_G \in f^{-1}(U)$ [/mm] per Definition von [mm] $f^{-1}(U)$!
[/mm]
> Ker(f):= [mm]f^{-1}({e_{H}})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {a [mm]\in[/mm] G|f(a) = [mm]e_{H}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, Ker(f)
> [mm]\le[/mm] G
> (bringt mir das mit dem Ker(f) etwas? Ker(f) ist ja die
> Menge aller a [mm]\in[/mm] G, für die [mm]f(a)=e_{H}(=e_{U})[/mm] gilt.
Der Kern ist [mm] $f^{-1}(\{ e_H \})$. [/mm] Du zeigst jetzt allgemeiner, dass nicht nur der Kern eine Untergruppe ist, sondern jedes Urbild einer Untergruppe von $H$.
> [mm]e_{G}[/mm] wär ja so ein a. Wenn [mm]e_{G}[/mm] das einzige Element ist,
> welche diese Eigenschaft erfüllt, dann wüsst ich ja
> schonmal, dass [mm]f^{-1}[/mm] ein neutrales Element hat.
> Theoretisch könnten aber noch andere a [mm]\in[/mm] G diese
> Eigenschaft haben (,oder? ) )
Das ist doch voellig egal. Du musst einfach zeigen, dass [mm] $e_G$ [/mm] in [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] liegt. Stichwort: Untergruppenkriterium.
> Und ich weiß noch, da Gruppenhomom.: f(a*b) = f(a) [mm]\circ[/mm]
> f(b), a,b [mm]\in[/mm] G
>
>
> Nun zum Beweis: ich überprüfe die Gruppenaxiome
>
> (U1) Abgeschlossenheit
> Seien a,b [mm]\in f^{-1}(U) \Rightarrow \exists[/mm] u,v [mm]\in[/mm] U:
> [mm]a=f^{-1}(u), b=f^{-1}(v).[/mm]
Das ist Quark. $f$ ist i.A. nicht injektiv. Damit ist [mm] $f^{-1}(u)$ [/mm] bzw. [mm] $f^{-1}(v)$ [/mm] kein Element von $G$, sondern eine Teilmenge!
Du willst wohl schreiben: "Seien $a, b [mm] \in f^{-1}(U) \Rightarrow [/mm] f(a), f(b) [mm] \in [/mm] U$."
Wenn du jetzt $f(a)$ umbedingt $u$ und $f(b)$ umbedingt $v$ nennen willst, kannst du das gerne tun.
> u [mm]\circ[/mm] v [mm]\in[/mm] U. a*b = [mm]f^{-1}(u)[/mm] * [mm]f^{-1}(v)[/mm] . So, jetzt
> kann ich ja aber nicht sagen, dass [mm]f^{-1}(u)[/mm] * [mm]f^{-1}(v)[/mm] =
> [mm]f^{-1}(u \circ[/mm] v), das gilt ja nur für f und nicht [mm]f^{-1}. \Rightarrow[/mm]
> weiß nicht, wie es weiter geht.
So geht das auch nicht.
Du musst einfach zeigen: $f(a + b) [mm] \in [/mm] U$. Das bedeutet gerade $a + b [mm] \in f^{-1}(U)$.
[/mm]
> (U2) Neutrtrales Element
> Das, was ich oben schon geschrieben habe: ich weiß zwar,
> dass [mm]f^{-1}(e_{H}=e_{U})[/mm]
Das ist immer noch Quark! Das Urbild von [mm] $e_H$ [/mm] ist der Kern von $f$, und dieser enthaelt [mm] $e_U [/mm] = [mm] e_G$.
[/mm]
> (U3) Inverses Element.
> Keine Idee :-(
Benutze [mm] $f(a^{-1}) [/mm] = [mm] f(a)^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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