Gruppenhomomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien k,n [mm] \in [/mm] N \ {0}. Betrachte die Abbildung Φ : Zk·n → Zn die [a] ∈ Zk·n auf [a] [mm] \in [/mm] Zn abbildet. Zeige dass Φ ein Gruppenhomomorphismus von (Zk·n,+) nach (Zn,+) ist. Bestimme den Kern von Φ. |
Hallo =) ,
ich habe diese Frage in keinen anderem Forum gestellt.
Also ich habe für k und n Zahlen eingesetzt um mir die Gruppen genauer vorstellen zu können und habe so herausgefunden, dass es sich bei dieser Abbildung um eine surjektive Abbildung handelt. Um einen Gruppenhomomorphismus zu zeigen, muss man ja zeigen, dass Φ ( Zkn + Zn) = Φ (Zkn) + Φ (Zn). Da [a] ∈ Zk·n und [a] ∈ Zn, kann man ja zeigen, dass Φ ([a] + [a]) = Φ ([a]) + Φ ([a]) gilt. Und wenn das gilt, dann ist diese Abbildung ein Gruppenhomomorphismus. Stimmt das so weit? Meine Frage ist jetzt, wie kann man das zeigen?
lg Mathemaus
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Könnte man das vielleicht auch so zeigen, indem man x, y [mm] \in [/mm] [a] definiert und dann einfach nur zeigt:
Φ: k(x+y) = k*x+k*y = Φ (a) + Φ (b)
reicht das nicht? ist damit der Gruppenhomomorphismus bewiesen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Di 15.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 So 13.11.2011 | | Autor: | hippias |
Hallo Mathemaus
> Seien k,n [mm]\in[/mm] N \ {0}. Betrachte die Abbildung Φ : Zk·n
> → Zn die [a] ∈ Zk·n auf [a] [mm]\in[/mm] Zn abbildet. Zeige
> dass Φ ein Gruppenhomomorphismus von (Zk·n,+) nach (Zn,+)
> ist. Bestimme den Kern von Φ.
> Hallo =) ,
>
> ich habe diese Frage in keinen anderem Forum gestellt.
>
> Also ich habe für k und n Zahlen eingesetzt um mir die
> Gruppen genauer vorstellen zu können und habe so
> herausgefunden, dass es sich bei dieser Abbildung um eine
> surjektive Abbildung handelt.
Richtig!
> Um einen
> Gruppenhomomorphismus zu zeigen, muss man ja zeigen, dass
> Φ ( Zkn + Zn) = Φ (Zkn) + Φ (Zn).
Ich finde man sollte besser sagen: Es ist zu zeigen, dass [mm] $\Phi(x+y)= \Phi(x)+ \Phi(y)$ [/mm] fuer alle [mm] $x,y\in \IZ_{kn}$. [/mm] Dabei ist auf jeden Fall zu beachten, dass doe $[a]$ aus der Definition jeweils voellig unterschiedliche Mengen sein koennen, denn in [mm] $\IZ_{2\cdot3}$ [/mm] gilt ja z.B. [mm] $7\in [/mm] [1]$ und [mm] $4\not\in [/mm] [1]$, waehrend es in [mm] $\IZ_{3}$ [/mm] genau umgekehrt ist. Wahrscheinlich wuerde ich auch ersteinmal ueberpruefen, ob Dein [mm] $\Phi$ [/mm] wohldefiniert ist.
> Da [a] ∈ Zk·n und
> [a] ∈ Zn, kann man ja zeigen, dass Φ ([a] + [a]) = Φ
> ([a]) + Φ ([a]) gilt. Und wenn das gilt, dann ist diese
> Abbildung ein Gruppenhomomorphismus. Stimmt das so weit?
> Meine Frage ist jetzt, wie kann man das zeigen?
Deine Ueberlegung ist mir etwas unklar. Ich wuerde einen Tip fuer die obige Gruppenhomomorphismus Eigenschaft fuer dieses konkrete Beispiel so formulieren: Seien [mm] $x,y\in \IZ_{kn}$ [/mm] mit [mm] $a\in [/mm] x$ und [mm] $b\in [/mm] y$. Welche Restklasse ist dann $x+y$? Und welche folglich [mm] $\Phi(x+y)$? [/mm] Nun muesstest Du nur noch einsehen, dass dies die selbe Restklasse ist wie [mm] $\Phi(x)+ \Phi(y)$, [/mm] aber das duerte nicht schwer fallen.
>
> lg Mathemaus
Hast Du Dir schon etwas zum Kern ueberlegt?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich verstehe nicht, wieso du sagst, dass x, y \in Zkn und dann noch mal, dass a \in x und b \in y ? Zumal x und y doch irgendwelche Werte und keine Mengen sind. Außerdem rechnest du damit doch auch gar nicht weiter?!?
Zu dem Kern hatte ich mir folgendes überlegt:
Ker ( Φ ) = \{ a \in Zn : Φ ( [a] ) = e_{Zkn} ... Das ist doch schon der Kern oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 13.11.2011 | | Autor: | hippias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
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> Ich verstehe nicht, wieso du sagst, dass x, y \in Zkn und
> dann noch mal, dass a \in x und b \in y ? Zumal x und y
> doch irgendwelche Werte und keine Mengen sind. Außerdem
> rechnest du damit doch auch gar nicht weiter?!?
>
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> Zu dem Kern hatte ich mir folgendes überlegt:
>
> Ker ( Φ ) = \{ a \in Zn : Φ ( [a] ) = e_{Zkn} ... Das ist
> doch schon der Kern oder nicht?
Naja, nicht weitergerechnet habe ich, weil ich Dir nur eine Hilfestellung geben wollte, wenn auch offensichtlich nicht gut. Zu Deinen Fragen: Zu zeigen ist $\Phi(x+y)= \Phi(x)+ \Phi(y)$ fuer alle $x,y\in \IZ_{kn}$. Da die Elemente aus $\IZ_{kn}$ Restklassen, also Mengen, sind und $\Phi$ durch einen Vertreter der jeweiligen Restklasse definiert ist, habe ich mir das $a$ und $b$ hergenommen. Denn nun kann ich sagen $\Phi(x+y)= \Phi([a]_{\IZ_{kn}}+[b]_{\IZ_{kn}})= \Phi([a+b]_{\IZ_{kn}})= [a+b]_{\IZ_{n}}$. Die Frage ist nun, ob dies das Gleiche wie $\Phi(x)+ \Phi(y)$ ist.
Zum Kern: Du hast die Definition des Kerns aufgeschrieben,sodass Du in jedem Falle nicht falsch liegst, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass Du die Menge genauer beschreiben sollst. Wenn Du schon ein konkretes Beispiel durchgerechnet hast, dann muesste sich ergeben haben, dass der Kern aus ganz bestimmten Vielfachen besteht. Man koennte dann versuchen die entsprechende Vermutung allgemein zu beweisen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 So 13.11.2011 | | Autor: | looser |
ich habe eine frage zum dem kern ...
also die kardinalität des kerns entspricht ja k, sprich je größer k ist desto mehr andere elemente werden auf das neutrale element abgebildet...
ich habe mir gedacht der kern ist:
Ker(derabbildung) = { [g*n] e Z_kn | g = {0,1,...,k-1}}
aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll...man könnte es mit einem beispiel zeigen...meinetwegen n=4 und k=4 aber wie mach ich das mathematisch?
ich hab absolut keinen ansatz -.-
helft mir!!!
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Ich kenne mich auch noch nicht so gut aus, was sich hoffentlich bald ändern wird ^^. Aber wenn du ein Beispeil zeigst, dann ist es nur für dieses eine Beispiel gezeigt, aber du musst es für alle Zahlen beweisen, sprich du kannst es nicht anhand eines speziellen Zahlenbeispiels beweisen.
Aber das ist auch immer mein Problem. Die Definitionen sind ja nicht schwer, aber ich weiß immer nicht wie ich die einzelnen Sachen beweisen kann ohne ein konkretes Zahlenbeispiel anzugeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 14.11.2011 | | Autor: | hippias |
Um den Kern zu bestimmen, muss man sich ueberlegen, welche [mm] $x\in \IZ_{kn}$ [/mm] durch [mm] $\Phi$ [/mm] auf die Null in [mm] $\IZ_{n}$ [/mm] abgebildet werden.
Dazu nehme man sich ein [mm] $x\in [/mm] Kern [mm] \Phi$ [/mm] und sei [mm] $a\in [/mm] x$. Dann gilt $0= [mm] \Phi(x)= [a]_{\IZ_{n}}$, d.h.$[a]_{\IZ_{n}}$ [/mm] ist die Restklasse, die $0$ enthaelt, welche genau aus den durch $n$ teilbaren Zahlen besteht. Folglich ist $a$ durch $n$ teilbar.
Nun koennte man vermuten, dass der Kern genau die Restklassen enthaelt, die zu den durch $n$ teilbaren Vertretern gehoeren, d.h.$Kern [mm] \Phi= \{[ny]_{\IZ_{kn}}| y\in \IZ\}$ [/mm] (koennte man auch kurz als [mm] $n\IZ_{kn}$ [/mm] schreiben).
Um diese Vermutung zu beweisen, braucht es wie immer den Nachweis der beiden Mengeninklusionen, wobei der [mm] $\subseteq$- [/mm] Teil ja schon durch obige Ueberlegung erledigt ist. Ihr muesstet nur noch die andere Richtung nachpruefen.
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also ich überlege schon ne halbe ewigkeit daran, aber ich weiß einfach nicht wie ich beweisen kann, dass das der kern ist. mir ist klar, dass es der kern sein muss und wieso, aber nicht wie ich das mathematisch zeigen kann ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mo 14.11.2011 | | Autor: | hippias |
Wenn ich vorher alles richtig gemacht habe, fehlt "nur noch" der Nachweis, dass [mm] $\Phi([ny]_{\IZ_{kn}})= [0]_{\IZ_{n}}$ [/mm] ist. Schreib' einfach Deinen Versuch auf, dann wird man schon sehen..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mi 16.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Also ich habe das jetzt so gemacht:
Φ ( x+y ) = Φ ( [mm] [a]_{Zkn} [/mm] + [mm] [b]_{Zkn}) [/mm] = Φ ( [mm] [a+b]_{Zkn}) [/mm] = [mm] [a+b]_{Zn} [/mm] = [mm] [a]_{Zn} [/mm] + [mm] [b]_{Zn} [/mm] = Φ ( [mm] [a]_{Zkn} [/mm] ) + Φ ( [mm] [b]_{Zkn} [/mm] )= Φ ( x) + Φ ( y)
Stimmt das so?
Danke für die Hilfe =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 14.11.2011 | | Autor: | hippias |
Ja, damit hast Du nachgewiesen, dass [mm] $\Phi$ [/mm] ein Homomorphismus ist. Wenn Du es ganz genau nehmen moechtest, dann koennte man noch nachweisen, dass [mm] $\Phi$ [/mm] ueberhaupt eine Funktion ist, also wohldefiniert ist, wie man sagt. Denn [mm] $\Phi(x)$ [/mm] ist durch ein Element [mm] $a\in [/mm] x$ definiert, und man koennte, wenn man boshaft ist, fragen, ob bei unterschiedlichen Wahlen [mm] $a,a'\in [/mm] x$ nicht unterscheidliche Restklassen [mm] $[a]_{\IZ_{n}}$, $[a']_{\IZ_{n}}$ [/mm] herauskommen koennten.
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Also ich habe diese Aufgabe so gemacht und habe jetzt null Punkte drauf bekommen und ich hab keine Ahnung, was falsch ist =(
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