Gruppenhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen zwischen den beiden vierelementigen
Gruppen G1 und G2 an, die durch ihre Gruppentafeln nachfolgend gegeben
sind.
G1= [mm] \pmat{ \circ & e &a&b&c \\ e & e&a&b&c \\ a&a&b&c&e \\ b&b&c&e&a \\ c&c&e&a&b }
[/mm]
G2= [mm] \pmat{ \circ & e &a&b&c \\ e & e&a&b&c \\ a&a&e&c&b \\ b&b&c&e&a \\ c&c&b&a&e }
[/mm]
Beschreiben Sie das Bild und den Kern jedes dieser Gruppenhomomorphismen. |
So nun habe ich mir mal die Def. für den Gruppenhomomorphismus aufgeschrieben, und denke mir, ja solche Abbildungen gibt es bestimmt einige...jetzt hatte ich aber aufgeschnappt, dass die Anzahl begrenzt ist, jedoch ist mir nicht klar warum man das sagen kann und wie man dann die Anzahl bestimmt. Ich habe hier auch gerade leider gar keinen Plan. :(
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mi 02.05.2012 | | Autor: | hippias |
Mit Hilfe der Definition ergibt sich zum Beispiel, dass die Einselemente auf Einselemente abgebildet werden muessen. Damit liegt ein Wert fest. Ferner ueberlege Dir, dass Inverse auf Inverse abgebildet werden. In der einen Gruppe ist z.B. $a$ zu sich selbst invers. Damit dann $a$ nur noch auf ein Selbstinverses Element der anderen Gruppe abgebildet werden, von denen es nur wenige gibt.
Es koennte auch hilfreich sein sich zuerst die Strukturen der Gruppen klarzumachen (Erzeuger etc.).
|
|
|
| |
|
Also habe ich jetzt mal aufgeschrieben:
f(e) = e = f(e [mm] \circ [/mm] e)= f(a [mm] \circ [/mm] c)= f(b [mm] \circ [/mm] b)= f(c [mm] \circ [/mm] a)=...?
und f(b [mm] \circ [/mm] b) = e = f(a) [mm] \circ f(a)^{-1} [/mm] =f(a) [mm] \circ f(a^{-1})
[/mm]
aber leider komme ich nicht weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Do 03.05.2012 | | Autor: | hippias |
>
> und f(b [mm]\circ[/mm] b) = e = f(a) [mm]\circ f(a)^{-1}[/mm] =f(a) [mm]\circ f(a^{-1})[/mm]
>
> aber leider komme ich nicht weiter.
>
Also ich nehme an das soll ein Homomorphismus [mm] $:G_{2}\to G_{1}$ [/mm] sein. Es gibt nur zwei selbstinverse Elemente in [mm] $G_{1}$, [/mm] sodass es auch nur zwei Moeglichkeiten fuer $f(a)$ gibt. Versuche ferner Erzeugendensysteme der Gruppen zu finden, denn man kann sich ueberlegen, dass $f$ aufgrund der Homomorphismuseigenschaften durch seine Bilder der Erzeuger eindeutig bestimmt ist: Wird eine Gruppe beispielsweise durch $a$ und $b$ erzeugt und ist $f(a)= x$ und $f(b)= y$, dann gilt [mm] $f(a^{k}b^{l})= x^{k}y^{l}$ [/mm] fuer alle [mm] $k,l\in \IN$. [/mm]
|
|
|
| |
|
Also ich habe jetzt: (Dabei betrahte ich G1 [mm] \rightarrow [/mm] G2)
f(e)=e , [mm] f(y)^{-1}=f(y^{-1})
[/mm]
a ist Erzeuger von G1 [mm] a^4= [/mm] a [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] a =e
mit der Bedingung für Grp.homo. [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] G1 [mm] f(x)=f(\underbrace{a \circ ... \circ a}_{k-mal mit k= { 1,2,3,4 } })=f(a^k)= \underbrace{ f(a) \circ f(a) ...\circ f(a)}_{k-mal} =f(a)^k
[/mm]
und dann:
f(e)=f(b [mm] \circ b^{-1}) [/mm] =f(b [mm] \circ [/mm] b)=f(b) [mm] \circ [/mm] f(b) =e
Also müssen die Bilder von f(b) doch wieder selbstinverse Elemente aus G2 sein, davon gibt es vier, e,a,b,c
So und nun komme ich nicht mehr weiter... :(
ich habe mal etwas rumprobiert:
also aus meiner Annahme, dass f(b) auf selbstinverse abgebildet werden, ergeben sich vier Fälle:
f(b)=e oder f(b)=a oder f(b)=b oder f(b)=c
1. f(b)=e=f(a [mm] \circ [/mm] a)=f(a) [mm] \circ [/mm] f(a)=e [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=a
dann [mm] f(c)=f(a)^3=a^3=a
[/mm]
und [mm] f(e)=f(a)^4=a^4=e
[/mm]
und das ist doch jetzt so konstruiert, dass es ein Grp.homo. ist, oder?
|
|
|
| |
|
Jetzt komme ich leider nicht mehr weiter, ich habe keine Ahnung, ob mein Vorgehen hier richtig ist. :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 07.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 05.05.2012 | | Autor: | hippias |
Mach' es so: [mm] $G_{1}$ [/mm] wird von $a$ erzeugt. Beweise, dass Homomorphismen [mm] $:G_{1}\to G_{2}$ [/mm] durch das Bild von $a$ eindeutig bestimmt sind, d.h. sind [mm] $\phi,\psi:G_{1}\to G_{2}$ [/mm] Homomorphismen mit [mm] $a^{\phi}= a^{\psi}$, [/mm] so folgt [mm] $\phi= \psi$.
[/mm]
Da [mm] $G_{2}$ [/mm] $4$ Elemente hat, ergeben sich damit hoechsten $4$ Bilder fuer $a$ und folglich auch nur hoechstens $4$ Homomorphismen.
Zeige dann, dass fuer jedes [mm] $x\in G_{2}$ [/mm] die Relation [mm] $\{(u, v)\in G_{1}\times G_{2}| \exists k\in \IZ\: u= a^{k}, v= x^{k}\}$ [/mm] eine Funktion ist, die ein Homomorphismus ist. Da $x$ beliebig war, findest Du so genau $4$ Homomorphismen.
|
|
|
|
