Gruppenhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Ist m [mm] \in \IZ [/mm] , m>1 , so ist [mm] \phi: \IZ [/mm] -> [mm] \IZ_m [/mm] , [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] (Restklasse von x modulo m) einEpimorphismus. |
Hallo zusammen,
Das es ein homomorphismus ist folgt aus [mm] \overline{x+y} [/mm] = [mm] \overline{x}+\overline{y}
[/mm]
Warum ist es ein Epimorphismus aber kein Isomorphismus?
Die injektivität:
Sei [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \phi(y)
[/mm]
<=> [mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \overline{y}
[/mm]
<=> [mm] x+m\IZ [/mm] = y + m [mm] \IZ
[/mm]
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Hi!
Du verwechselst den Begriff "Epimorphismus".
Daraus ergeben sich auch die anderen Probleme, denn die Abbildung ist offensichtlich NICHT injektiv (das ist anschaulich klar - mehrere ganze Zahlen werden auf dieselbe Restklasse abgebildet, formal kannst du es dann noch aufschreiben), aber sie ist surjektiv (denn es gibt keine Restklasse, für die du keine ganze Zahl findest, so dass sie darauf abgebildet wird - auch das kannst du formal recht einfach aufschreiben).
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo, danke für den Post.
Könntest du mir vlt. ein gegenbsp für die Injektivität nennen, sodass ich mir das besser vorstellen kann=??
Danke,lg
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Nehme $m=5$.
Dann bekommst du 5 Restklassen, z.B. identifiziert durch die Reste 0, 1, 2, 3, 4.
Jetzt landen z.B. 1, 6, 11, 16 alle in der gleichen Restklasse, also ist die Abbildung nicht injektiv.
Andererseits findest du für alle diese Restklassen mind. eine ganze Zahl, die dann auch drin landet, z.B. die Vertreter 0, 1, 2, 3, 4.
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Nimm [mm] \IZ \mapsto \IZ_5.
[/mm]
Dann ist 3 [mm] \mapsto [/mm] 3 und 8 [mm] \mapsto [/mm] 3 und 13 [mm] \mapsto [/mm] 3 und 18 [mm] \mapsto [/mm] 3 usw., weil alle diese Zahlen den Rest 3 beim Dividieren durch 5 lassen. Alle Zahlen mit 3 und 8 als Endziffer werden auf 3 abgebildet, also sogar unendlich viele.
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moin,
Nochmal zum besseren Verständnis die einzelnen Begriffe:
Homomorphismus - Abbildung, die verträglich mit Verknüpfungen ist. Ein Gruppenhomomorphismus [mm] $\phi$ [/mm] zwischen zwei Gruppen $(G,*)$ und [mm] $(H,\circ)$ [/mm] muss also [mm] $\phi(a*b) [/mm] = [mm] \phi(a)\circ \phi(b)$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in [/mm] G$ erfüllen.
Epimorphismus - Ein surjektiver Homomorphismus
Monomorphismus - Ein injektiver Homomorphismus
Isomorphismus - Ein bijektiver Homomorphismus
Für Gruppen weniger relevant:
Endomorphismus - Ein Homomorphismus, bei dem Definitions- und Zielbereich übereinstimmen (meistens sind Def. und Zielbereich hier Vektorräume)
Automorphismus - Ein Isomorphismus, bei dem Def. und Zielbereich übereinstimmen, also ein bijektiver Endomorphismus (meist sind Def. und Zielbereich hier Körper)
lg
Schadow
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