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Hallöchen!
In einer unserer Aufgaben sollen folgende Aufgabe lösen und irgendwie will ich trotz einiger Tips unserer Tutorin nicht auf die Lösung kommen.
Vielleicht habt ihr ja noch ein paar Tips :) Vor allem den Lösungshinweis versteh ich nicht ganz.
Sei [mm] f:G \rightarrow H [/mm]ein Gruppenhomomorphismus der endlichen Gruppe (G,*) in die Gruppe (H,*). Für g [mm] \in [/mm] G heisst kleinste positive Zahl k mit
[mm] g^k = 1 [/mm] die Ordnung [mm] o(g) [/mm] von g.
Zeigen Sie:
[mm] o(g) = k \Rightarrow o(f(g)) [/mm] teilt k ( für alle [mm]g \in G [/mm])
Und der Lösungshinweis besagt das man ohne Beweis die Dievision mit Rest verwenden darf, also :
[mm] m,k \in \IN [/mm] , so existieren [mm] q,r \in \IN [/mm] mit [mm]k= qm + r [/mm] und r<m
sitze schon seit 2 Tagen davor und irgendwie komme ich nicht sonderlich weit :(
Gruss,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 So 31.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Marion!
Wir wollen zeigen, dass es ein n aus N gibt mit:
o(g) = n*o(f(g))
Aus [mm] g^{o(g)} [/mm] = 1 folgt [mm] f(g^{0(g)}) [/mm] = 1. Da f ein Gruppenhomomorphismus ist, kann man das zu [mm] [f(g)]^{o(g)} [/mm] = 1 umformulieren. Hieran sieht man, dass o(f(g)) <= o(g), denn ansonsten wäre o(f(g)) nicht die kleinste echt positive Zahl mit der gewünschten Eigenschaft.
Wir können daher o(f(g)) schreiben als:
o(f(g)) = [mm] m_{1}*o(g) [/mm] + [mm] m_{2}, [/mm] wobei [mm] m_{1} \in [/mm] N und [mm] m_{2} \in {0,1,...,m_{1}-1}.
[/mm]
Jetzt können wir folgern:
1 = [mm] [f(g)]^{o(f(g))} [/mm] = [mm] [f(g)]^{m_{1}*o(g) + m_{2}}
[/mm]
= [mm] [f(g)]^{m_{1}*o(g)}*[f(g)]^{m_{2}} [/mm] = [mm] 1^{m_{1}}*[f(g)]^{m_{2}}
[/mm]
= [mm] [f(g)]^{m_{2}}
[/mm]
Da [mm] m_{2} [/mm] < o(f(g)) und da 1 = [mm] [f(g)]^{m_{2}}, [/mm] muss [mm] m_{2} [/mm] = 0 sein, denn ansonsten wäre o(f(g)) nicht mehr die kleinste positive Zahl mit [mm] [f(g)]^{o(g(f))} [/mm] = 1.
Also gilt o(g(f)) = [mm] m_{1}*o(g)
[/mm]
Liebe Grüße
Clemens
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Hm.... ja okay verstehe jetzt schon mehr allerdings wollte ich nachfragen da ich halt mit diesem
[mm] o(f(g)) [/mm] teilt k ( für alle [mm]g \in G [/mm])
Probleme habe. Denn so wie du es jetzt beschrieben hast ist ja
[mm] o(f(g)) [/mm] jetzt ein Vielfaches von k. aber es soll esdoch teilen... vielleicht steh ich mir jetzt auch nur selbst im Weg aber irgendwie...
in der Vorraussetzung steht es ja auch noch anders herum, also
>Wir wollen zeigen, dass es ein n aus N gibt mit:
[mm] o(g) = n*o(f(g)) [/mm]
und dann wollt ich noch fragen
warum aus
[mm] g^o(g)=1 f(g^o(g))=1 folgt [/mm]
aber ganz vielen Dank schon mal!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 So 31.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> Hm.... ja okay verstehe jetzt schon mehr allerdings wollte
> ich nachfragen da ich halt mit diesem
>
> [mm]o(f(g))[/mm] teilt k ( für alle [mm]g \in G [/mm])
>
> Probleme habe. Denn so wie du es jetzt beschrieben hast ist
> ja
> [mm]o(f(g))[/mm] jetzt ein Vielfaches von k. aber es soll esdoch
> teilen... vielleicht steh ich mir jetzt auch nur selbst im
> Weg aber irgendwie...
> in der Vorraussetzung steht es ja auch noch anders herum,
> also
>
> >Wir wollen zeigen, dass es ein n aus N gibt mit:
>
> [mm]o(g) = n*o(f(g))[/mm]
Wenn o(g) = n*o(f(g)), dann heißt das doch, dass o(g) ein Vielfaches von o(f(g)) ist und dass damit o(f(g)) die Ordnung von g teilt.
> und dann wollt ich noch fragen
> warum aus
> [mm]g^o(g)=1 f(g^o(g))=1 folgt[/mm]
Erst mal zu den Formeln: Du musst den Exponenten in geschweifte Klammern setzen, dann sieht das so aus:
Aus [mm] g^{o(g)}=1_{G} [/mm] folgt [mm] f(g^{o(g)}) [/mm] = [mm] 1_{H}
[/mm]
Ich habe hier die Einser indiziert, um anzudeuten, dass es sich bei der ersten Eins um das neutrale Element in der Gruppe (G, *) handelt und bei der zweiten um das neutrale Element in der Gruppe (H,*) handelt.
Nun zu deiner Frage:
Ein Gruppenhomomorphismus (und das ist die Voraussetzung in der Aufgabenstellung) ist ja als eine Abbildung zwischen Gruppen definiert, die verknüpfungsverträglich ist, das heißt für alle [mm] g_{1},g_{2} [/mm] aus G gilt:
[mm] f(g_{1}*g_{2}) [/mm] = [mm] f(g_{1})*f(g_{2})
[/mm]
(Eigentlich müsste man noch die * indizieren, da das linke * die Verknüpfung in G ist und das rechte die in H.)
Aus dieser Gleichung folgt sofort:
[mm] f(1_{G}) [/mm] = [mm] f(1_{G}*1_{G}) [/mm] = [mm] f(1_{G})*f(1_{G})
[/mm]
Jetzt kann man diese Gleichung mit [mm] f(1_{G})^{-1} [/mm] multiplizieren und erhält:
[mm] f(1_{G})*f(1_{G})^{-1} [/mm] = [mm] f(1_{G})*f(1_{G})* f(1_{G})^{-1}
[/mm]
==> [mm] 1_{H} [/mm] = [mm] f(1_{G})*1_{H} [/mm] = [mm] f(1_{G})
[/mm]
D. h. ein Gruppenhomomorphismus bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab.
> aber ganz vielen Dank schon mal!!
War mir eine Freude!
Liebe Grüße
Clemens
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