Gruppenhomomorphismus / Kern < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Di 16.11.2010 | | Autor: | gstylez |
| Aufgabe | Die Mengen: [mm] (\IR^{n}, [/mm] +) , n = 2,3 sind Gruppen.
Das ist die Addition der Gruppen:
[mm] (x_1, ..., x_n) + (y_1, ..., y_n) := (x_1 + y_1, ..., x_n + y_n)[/mm].
Gruppeneigenschaft muss nicht bewiesen werden!
Zeige, dass folgende Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind und berechne den Kern [mm] (\varphi_1) [/mm] und [mm] (\varphi_1):
[/mm]
1. [mm]\varphi_1: \IR^{3}\rightarrow \IR^{2}, (x,y,z) \rightarrow (x+y, y+z)[/mm]
2. [mm]\varphi_2: \IR^{2}\rightarrow \IR^{3}, (x,y) \rightarrow (x,x + y,y)[/mm] |
Um zu zeigen, dass es Gruppenhomomorphismen sind müsste ich also die Stelligkeit von beiden Abbildungen vergl. d.h. also wieviele Argumente durch Operator (z.B: + / - usw.) verknüpft werden. Wie mach ich das im einzelnen? Muss ich das zurückführen auf ein Gesetz also z.B. Assoziativ-/Potenzgesetz usw.?
Zum Kern: Hab ich das richtig verstanden das es darum geht das man das neutrale element im Bild ermittelt und dazu im Urbild die dazugehörigen Werte? Diese sind dann der "Kern" der Funktion? Ich müsste also nichts anderes tun als das neutrale element in der Funktion einzusetzen.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gstylez und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Die Mengen: [mm](\IR^{n},[/mm] +) , n = 2,3 sind Gruppen.
> Das ist die Addition der Gruppen:
> [mm](x_1, ..., x_n) + (y_1, ..., y_n) := (x_1 + y_1, ..., x_n + y_n)[/mm].
>
> Gruppeneigenschaft muss nicht bewiesen werden!
>
> Zeige, dass folgende Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind
> und berechne den Kern [mm](\varphi_1)[/mm] und [mm](\varphi_1):[/mm]
> 1. [mm]\varphi_1: \IR^{3}\rightarrow \IR^{2}, (x,y,z) \rightarrow (x+y, y+z)[/mm]
>
> 2. [mm]\varphi_2: \IR^{2}\rightarrow \IR^{3}, (x,y) \rightarrow (x,x + y,y)[/mm]
>
> Um zu zeigen, dass es Gruppenhomomorphismen sind müsste
> ich also die Stelligkeit von beiden Abbildungen vergl. d.h.
> also wieviele Argumente durch Operator (z.B: + / - usw.)
> verknüpft werden.
Hmm, du musst zeigen, dass gilt:
[mm]\varphi_1((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2))=\varphi_1((x_1,y_1,z_1))+\varphi_1((x_2,y_2,z_2))[/mm]
Analog für [mm]\varphi_2[/mm]
> Wie mach ich das im einzelnen? Muss ich
> das zurückführen auf ein Gesetz also z.B.
> Assoziativ-/Potenzgesetz usw.?
Ja, darauf läuft es hinaus, in den einzelnen Komponenten der Vektoren kannst du rechnen wie in [mm]\IR[/mm] ...
>
> Zum Kern: Hab ich das richtig verstanden das es darum geht
> das man das neutrale element im Bild ermittelt und dazu im
> Urbild die dazugehörigen Werte? Diese sind dann der "Kern"
> der Funktion? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das ist die Menge aller Elemente des Urbildbereiches, die auf das neutrale Element des Bildbereiches abgebildet werden.
> Ich müsste also nichts anderes tun als das
> neutrale element in der Funktion einzusetzen.
Nein, das neutrale Element des Urbildraumes ist immer im Kern.
Du musst (etwa bei der ersten Funktion) lösen:
[mm]\varphi_1((x,y,z))=(0,0)[/mm]
Also [mm]x+y=0[/mm] und [mm]y+z=0[/mm]
Alle [mm]x,y,z[/mm] die das erfüllen bilden die gesuchten Tripel des Kernes von [mm]\varphi_1[/mm]
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 16.11.2010 | | Autor: | gstylez |
Was liegt denn jetzt hier für ein Gesetz vor? Die Addition links wurde einfach in der Klammer zusammengefasst.. Distributiv/ Assoziativ ist es nicht. Additionsgesetz?! :-D
Wenn der Kern, das neutrale Element als Urbild hat, ist der Kern in einer additiven Gruppe doch immer ein Funktionswert addiert mit seinem additiven Inversen oder nicht?
Hier also:
x + y = 0 -> muss x + [mm] x^{-1} [/mm] = 0 oder [mm] y^{-1} [/mm] + y = 0 sein. Irre ich mich da?
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Hallo nochmal,
> Was liegt denn jetzt hier für ein Gesetz vor? Die Addition
> links wurde einfach in der Klammer zusammengefasst..
> Distributiv/ Assoziativ ist es nicht. Additionsgesetz?!
> :-D
Für [mm]\varphi_1[/mm] ist der Urbildraum der [mm]\IR^3[/mm] mit der gewöhnlichen komponentenweisen Addition (Vektoraddition im [mm]\IR^3[/mm])
Du addierst also linkerhand die Argumente (Vektoren im [mm]IR^3[/mm]) von [mm]\varphi_1[/mm]
Die (Vektor-)Addition im [mm]\IR^n[/mm] führst du auf komponentenweisen Addition im [mm]\IR[/mm] zurück.
Also [mm]\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}=\vektor{x_1+x_2\\
y_1+y_2\\
z_1+z_2}[/mm]
bzw. wie hier in "liegender" Schreibweise als Tripel
Da kannst du Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Kommutativgesetz, .. benutzen.
Rechterhand addierst du [mm]\varphi((x_1,y_1,z_1))[/mm] und [mm]\varphi_1((x_2,y_2,z_2))[/mm], da bist du im [mm]\IR^{\red{2}}[/mm], hast also Vektoraddition im [mm]\IR^2[/mm] vorliegen - ebenfalls komponentenweise.
Rechne einfach mal die Bedingung, die ich oben hingeschrieben habe, aus.
Wenn du's nicht direkt kapierst, mache es ganzu schematisch:
linkerhand addiere komponentenweise und bilde dann unter [mm]\varphi_1[/mm] ab ...
rechterhand bilde zuerst [mm] $(x_1,y_1,z_1)$ [/mm] und [mm] $(x_2,y_2,z_2)$ [/mm] ab und addiere dann diese Bilder ...
Rechne einfach mal los und schreibe es mal hier auf ...
So lernst du das am Besten 
>
> Wenn der Kern, das neutrale Element als Urbild hat, ist der
> Kern in einer additiven Gruppe doch immer ein Funktionswert
> addiert mit seinem additiven Inversen oder nicht?
Das verstehe ich nicht!
Was ist der Kern einer Gruppe?
>
> Hier also:
>
> x + y = 0 -> muss x + [mm]x^{-1}[/mm] = 0 oder [mm]y^{-1}[/mm] + y = 0 sein.
> Irre ich mich da?
Nein, es ist doch [mm]\varphi((x,y,z))=(x+y,y+z)[/mm]
Und [mm](0,0)[/mm] ist das neutrale Element im Bildraum [mm]\IR^2[/mm]
Also löse [mm]\varphi((x,y,z))=(0,0)[/mm]
Dh. [mm](\red{x+y},\blue{y+z})=(\red{0},\blue{0})[/mm]
Also [mm]x+y=0[/mm] und [mm]y+z=0[/mm]
Das ist ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen in 3 Variablen.
Das kannst du seit der Schulzeit lösen.
Mache das! Die Lösungsgesamtheit ist dann der gesuchte Kern von [mm]\varphi_1[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 17.11.2010 | | Autor: | gstylez |
So hätt ich es jetzt gemacht:
linker hand:
[mm] (x_1+y_1+z_1, x_2+y_2+z_2, x_3+y_3+z_3)
[/mm]
rechter hand:
[mm] (x_1+y_1+z_1, x_2+y_2+z_2)
[/mm]
aber deiner definition nach zu urteilen müsste es so sein:
linker hand:
[mm] (x_1+x_2+x_3, y_1+y_2+y_3, z_1+z_2+z_3)
[/mm]
rechter hand:
[mm] (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)
[/mm]
>addiere komponentenweise und bilde dann unter $ [mm] \varphi_1 [/mm] $ ab ...
sagen wir ich hab jetz komponentenweise addiert wie bilde ich das jetzt unter [mm] \varphi_1 [/mm] ab?
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Hallo nochmal,
das ist alles sehr unübersichtlich.
Ich fasse das mal für [mm]\varphi_1[/mm] zusammen und schreibe dieses Mal die Vektoren "normal", also stehend - vllt. liegt's daran, dass es dir Probleme bereitet:
Es ist [mm]\varphi_1:\IR^3\to\IR^2[/mm] mit [mm]\varphi\left(\vektor{x\\
y\\
z}\right)=\vektor{x+y\\
y+z}[/mm]
Zu zeigen ist die Homomorpieeigenschaft von [mm]\varphi_1[/mm]
Also, dass gilt: [mm]\varphi_1\left(\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}\right) \ = \ \varphi_1\left(\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}\right) \ + \ \varphi_1\left(\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}\right)[/mm]
Machen wir das:
linkerhand müssen wir zuerst zwei Vektoren [mm]\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}[/mm] und [mm]\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}[/mm] addieren und dann unter [mm]\varphi_1[/mm] abbilden:
Also [mm]\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2} \ = \ \vektor{x_1+x_2\\
y_1+y_2\\
z_1+z_2}[/mm]
Und damit [mm]\varphi_1\left(\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}\right) \ = \ \varphi_1\left(\vektor{x_1+x_2\\
y_1+y_2\\
z_1+z_2}\right)[/mm]
Und das ist nach Abbildungsvorschrift [mm]=\vektor{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\
(y_1+y_2)+(z_1+z_2)}[/mm]
Und das musst du nun auseinanderrechnen bis du auf [mm]\ldots \ = \ \vektor{x_1+y_1\\
y_1+z_1} \ + \ \vektor{x_2+y_2\\
y_2+z_2} \ = \ \varphi_1\left(\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}\right) \ + \ \varphi_1\left(\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}\right)[/mm] kommst ...
Nun aber ...
Bedenke, dass du in den einzelnen Komponenten rechnen kannst wie in den reellen Zahlen, da gelten alle bekannten Gesetze ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 16.11.2010 | | Autor: | gstylez |
Wenn ich den [mm] \IR^2 [/mm] habe heißt das doch nichts anderes als das nur die reelen Zahlen genutzt werden können, die Potenzen von 2 sind also z.B. 2, 4, 16, ..., [mm] 2^n
[/mm]
-> alle geraden Zahlen.
Bei [mm] \IR^3 [/mm] dann also die 3er Potenzen: 3, 6, 18, ..., [mm] 3^n
[/mm]
Die negativen Potenzen nicht zu vergessen.
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Hallo nochmal,
> Wenn ich den [mm]\IR^2[/mm] habe heißt das doch nichts anderes als
> das nur die reelen Zahlen genutzt werden können, die
> Potenzen von 2 sind also z.B. 2, 4, 16, ..., [mm]2^n[/mm]
> -> alle geraden Zahlen.
>
> Bei [mm]\IR^3[/mm] dann also die 3er Potenzen: 3, 6, 18, ..., [mm]3^n[/mm]
> Die negativen Potenzen nicht zu vergessen.
Oh nein, es bedeutet [mm]\IR^n=\underbrace{\IR\times\IR\times\ldots\times\IR}_{\text{n-mal}}[/mm], also das [mm]n[/mm]-fache karthesische Produkt.
Ein Element aus [mm]\IR^n[/mm] ist also ein Vektor mit n Komponenten [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n}[/mm]
Hier sind die Vektoren der Bequemlichkeit halber "liegend" geschrieben worden.
Also etwas ein Vektor aus dem [mm]\IR^3[/mm] nicht als [mm]\vektor{x\\
y\\
z}[/mm] sondern als Tripel [mm](x,y,z)[/mm]
Ebenso im [mm]\IR^2[/mm]. Dort sind es Tupel [mm](x,y)[/mm] (statt [mm]\vektor{x\\
y}[/mm])
Gruß
schachuzipus
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