Gruppenhomophismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Do 02.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Seien G und H Gruppen, wobei G = <a, b>. Es gebe einen
Gruppenhomomorphismus von G nach H. Beweisen Sie, dass H von
maximal zwei Elementen erzeugt wird. |
Morgen!
Also die Frage seht ihr ja oben. Hier mein Lösungsansatz:
Sei G = [mm] (M,\circ) [/mm] und H = [mm] (M',\odot). [/mm] Dann hat der Gruppenhomorphismus doch die Form:
[mm] \pi: [/mm] M [mm] \to [/mm] M' mit [mm] \pi(a \circ [/mm] b) = [mm] \pi(a) \odot \pi(b) [/mm] mit [mm] a,b\in [/mm] M
[mm] \Rightarrow [/mm] Ich kann jedes Element aus M' mit Elementen aus M darstellen, wenn ich sie entsprechend mit [mm] \pi [/mm] verknüpfe.
Da M aus a,b erzeugt wird und es sich um einen Gruppenhomophismus handelt d.h. [mm] \pi(a^k \circ b^{k'}) [/mm] = [mm] \pi(a^k) \odot \pi(b^{k'}) [/mm] explizit erlaubt ist, kann ich jedes Elemente aus M' mit a und b darstellen, d.h. es wird von maximal 2 Elementen erzeugt.
Wobei nach Definition gitl: [mm] a^k \circ b^{k'} [/mm] = <a,b>
Ich finde die Aussage recht interessant, bin mir aber gerade nicht so sicher ob die Folgerung etc. so überhaupt stimmig ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Do 02.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien G und H Gruppen, wobei G = <a, b>. Es gebe einen
> Gruppenhomomorphismus von G nach H. Beweisen Sie, dass H
> von
> maximal zwei Elementen erzeugt wird.
Ich glaube, du hast da etwas sehr, sehr wichtiges vergessen: naemlich ein "surjektiv".
> Also die Frage seht ihr ja oben. Hier mein Lösungsansatz:
> Sei G = [mm](M,\circ)[/mm] und H = [mm](M',\odot).[/mm] Dann hat der
> Gruppenhomorphismus doch die Form:
> [mm]\pi:[/mm] M [mm]\to[/mm] M' mit [mm]\pi(a \circ[/mm] b) = [mm]\pi(a) \odot \pi(b)[/mm] mit
> [mm]a,b\in[/mm] M
Vorsicht, $a$ und $b$ benutzt du jetzt doppelt!
> [mm]\Rightarrow[/mm] Ich kann jedes Element aus M' mit Elementen
> aus M darstellen, wenn ich sie entsprechend mit [mm]\pi[/mm]
> verknüpfe.
Wie meinst du das?
> Da M aus a,b erzeugt wird und es sich um einen
> Gruppenhomophismus handelt d.h. [mm]\pi(a^k \circ b^{k'})[/mm] =
> [mm]\pi(a^k) \odot \pi(b^{k'})[/mm]
[mm] $\dots [/mm] = [mm] \pi(a)^k \cdot \pi(b)^{k'}$
[/mm]
> explizit erlaubt ist, kann ich
> jedes Elemente aus M' mit a und b darstellen, d.h. es wird
> von maximal 2 Elementen erzeugt.
Ist $M$ bzw. $M'$ abelsch? Bedenke, dass nicht jedes Element in $M$ die Form [mm] $a^k b^{k'}$ [/mm] haben muss, wenn $M$ nicht abelsch ist.
> Wobei nach Definition gitl: [mm]a^k \circ b^{k'}[/mm] = <a,b>
Auf der linken Seite steht ein Element von $M$, auf der rechten eine Teilmenge. So kann das nicht stimmen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi Felix!
> Ich glaube, du hast da etwas sehr, sehr wichtiges
> vergessen: naemlich ein "surjektiv".
Ich habe die Aufgabenstellung exakt so kopiert und gerade nochmal kontrolliert, in der Aufgabenstellung steht nichts von surjektiv.
> Wie meinst du das?
M wird von a und b erzeugt. Also haben alle Elemente aus M doch die Form [mm] a^k\circ b^{k'}.
[/mm]
Da es einen Gruppenhomomorphismus gibt, gibt es eine Abbildung [mm] \pi [/mm] : M [mm] \to [/mm] M'. Da M ja von a,b erzeugt wird kann ich auch folgendes schreiben: [mm] \pi: [/mm] <a,b> [mm] \to [/mm] M'.
Bsp(willkürlich): Sei [mm] \pi(w) [/mm] = z, wobei z [mm] \in [/mm] M' und w [mm] \in [/mm] M. Weiterhin gilt w = [mm] a^2\circ b^4. [/mm] Also kann ich auch schreiben: [mm] \pi(a^2\circ b^4) [/mm] = z und habe damit z nur mit a,b und [mm] \pi [/mm] dargestellt.
[mm] \pi(a^2\circ b^4) [/mm] = [mm] \pi(a^2) \odot \pi(b^4) [/mm] wegen des Gruppenhomomorphismus.
Wobei dann nun hier Surjektivität gelten muss, damit das funktioniert, sonst bin ich ja nicht sicher ob ich wirklich jedes Element in M' erreiche.
> Ist [mm]M[/mm] bzw. [mm]M'[/mm] abelsch? Bedenke, dass nicht jedes Element in
> [mm]M[/mm] die Form [mm]a^k b^{k'}[/mm] haben muss, wenn [mm]M[/mm] nicht abelsch
> ist.
Laut Aufgabe nicht...
> Auf der linken Seite steht ein Element von [mm]M[/mm], auf der
> rechten eine Teilmenge. So kann das nicht stimmen.
Hmm ja, das ist mathematisch so falsch. Was ich eher meinte ist dieses:
<a,b> erzeugt eine Menge mit einer Verknüpfung. Dabei lässt sich jedes Element der Menge in der Form [mm] a^k\circ a^{k'} [/mm] darstellen, wobei [mm] a^k [/mm] die k-fache Hintereinanderausführung der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] auf a ist.
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> > Ich glaube, du hast da etwas sehr, sehr wichtiges
> > vergessen: naemlich ein "surjektiv".
> Ich habe die Aufgabenstellung exakt so kopiert und gerade
> nochmal kontrolliert, in der Aufgabenstellung steht nichts
> von surjektiv.
Hallo,
dann wird das aber nicht gut klappen:
ich nehme jetzt mal H=<a,b,c> G=<a,b>
und als Homomorphismus von G nach H [mm] id_G.
[/mm]
H wird ja trotzdem nach wie vor von drei Elementen erzeugt, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm, dann ist das jetzt, naja, suboptimal von der Aufgabenstellung her.
Ich gehe mal davon aus, dass da nun das surjektiv vergessen wurde - werde aber nochmal nachfragen.
Wenn wir nun davon ausgehen, dass da ein surjektiv hin muss: Dann gibt es nur noch den Knackpunt ob M bzw. M' abelsch ist oder nicht?
Hättet ihr da einen Ansatz um mich in die richtige Richtung zu schubsen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 03.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich gehe mal davon aus, dass da nun das surjektiv vergessen
> wurde - werde aber nochmal nachfragen.
Ja. Oder habt ihr Gruppenhom. eh schon als surjektiv definiert? Ungewöhnlich, aber möglich.
> Wenn wir nun davon ausgehen, dass da ein surjektiv hin
> muss: Dann gibt es nur noch den Knackpunt ob M bzw. M'
> abelsch ist oder nicht?
Nö, eigentlich nicht.
> Hättet ihr da einen Ansatz um mich in die richtige
> Richtung zu schubsen?
Du interpretierst die <,> falsch - das sind beliebige Erzeugnisse, also [m]a*bb*aaa*b*a[/m] ist auch dort enthalten. Es sind beliebige Ausdrücke in a,b und deren Inversen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
> Du interpretierst die <,> falsch - das sind beliebige
> Erzeugnisse, also [m]a*bb*aaa*b*a[/m] ist auch dort enthalten. Es
> sind beliebige Ausdrücke in a,b und deren Inversen.
Das verstehe ich nun nicht ganz. Ich kenne <a,b> so:
Sei [mm] (M,\circ) [/mm] eine Gruppe. Mit den Elemten a,b [mm] \in [/mm] M lässt sich mit Hilfe der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] jedes Element aus M darstellen, d.h. die Elemente a und b erzeugen M.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 03.07.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> > Du interpretierst die <,> falsch - das sind beliebige
> > Erzeugnisse, also [m]a*bb*aaa*b*a[/m] ist auch dort enthalten. Es
> > sind beliebige Ausdrücke in a,b und deren Inversen.
>
> Das verstehe ich nun nicht ganz. Ich kenne <a,b> so:
> Sei [mm](M,\circ)[/mm] eine Gruppe. Mit den Elemten a,b [mm]\in[/mm] M
> lässt sich mit Hilfe der Verknüpfung [mm]\circ[/mm] jedes Element
> aus M darstellen, d.h. die Elemente a und b erzeugen M.
Wenn das so ist, dann bilden a und b natürlich ein Erz.-system. Und wenn ihr vielleicht überhaupt nur endliche Gruppen beim Wickel habt, dann braucht man die Inversen auch nicht. Aber generell ist die Sprechweise so, daß 1 ein Erzeuger von [mm] ($\IZ$, [/mm] +) ist, obwohl sich über die Verknüpfung nur die positiven Zahlen darstellen lassen.
Du müßtest dir vielleicht noch mal ganz genau die in deiner Vorlesung gültigen Def. und Vereinbarungen zu Gemüte führen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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