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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:12 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Burdy |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Operationen der Gruppe G= [mm] GL_3(\IF_{2})=\{M\in \IF_{2}^{3\times 3}|det(M)\not=0\} [/mm] auf den 1-dim. Untervektorräumen X von [mm] \IF^3_2.
[/mm]
( [mm] \IF_n=\IZ /n\IZ [/mm] )
a) Bestimmen sie Bahnen und Stabilisator dieser Operation
b) Berechnen sie den Kern der zugehörigen Permutationsdarstellung
c) Zeigen Sie, dass die Operation primitiv ist (nur triviale Blöcke hat)
d) Zeigen Sie, dass [mm] GL_3(\IF_2) [/mm] einfach ist (nur triviale Normalteiler hat) |
Hallo
Ein bisschen hab ich schon gemacht bei den Aufgaben:
a)
Die Operation hat nur eine Bahn, da mit v=(1,0,0)
[mm] v*M=(m_{11},m_{12},m_{13})=X=\IF^3_2\backslash(0,0,0) [/mm] (da sonst det(M)=0)
Für den Stabilisator suche ich mir einen Repräsentanten aus vM, zb v, und erhalte [mm] Stab_G(v)=\{M\in \IF_{2}^{3\times 3}|det(M)\not=0 \wedge m_{11}=1, m_{12}=0, m_{13}=0\}
[/mm]
b)
Da bin ich mir nicht so sicher. Ich bilde Elemente aus meiner Menge X ab auf Permutationen. Der Kern ist also die Abbildung, die alle Elemente aus X nicht permutiert, also die Einheitsmatrix?
c)
Dafür hat ich einen Satz, dass die Größe von Blöcken die Größe von X teilt. Da [mm] X=\{110,101,011,111,100,010,001\} [/mm] folgt |X|=7, jeder Block hat also die Größe 1 oder 7, sprich triviale Blöcke
d)
Dazu hab ich als Hinweis, dass ich folgendes benutzen soll:
Sei [mm] 1\not=N\le [/mm] G Normalteiler und G ist transitiv (besitzt nur eine Bahn), dann operiert N transitiv auf X
Da weiß ich leider so recht nichts mit anzufangen mit dem Hinweis. Ich nehme an, ich habe einen Normalteiler und dann also folgern, dass N=G ist. Aber ich erkenne nicht wie. Da wäre ich für einen Tipp dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 13.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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