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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mo 01.06.2009 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Sei G eine Gruppe mit [mm] |G|=p^r [/mm] für eine Primzahl p. G operiere auf einer endlichen Menge M. Ist p kein Teiler von |M| so besitzt M ein Fixelement unter G. |
Hallo Matheraum!
Um nicht durcheinander zu kommen, sage ich mal, dass (G,+) die Gruppe ist, also additive Verknüpfung. Die Gruppenoperation schreibe ich in folgendem multiplikativ. Ich fange bei solchen Aufgaben immer so an, dass ich mir mal alles zusammenschreibe, was ich weiß. Das wäre also:
1. G besitzt [mm] p^r [/mm] Elemente.
2. *: G [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M; (g,m) [mm] \to [/mm] g*m so dass gilt
Für das Einselement von G [mm] 0_G [/mm] gilt: [mm] 0_G [/mm] *m=m [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M
(g+h)*m=g*(h*m) [mm] \forall [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G, m [mm] \in [/mm] M
3. p teilt nicht |M|
Zu zeigen ist nun: [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M : g*m=m [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G .
Als Hinweis ist gegeben, dass man M in disjunkte Bahnen zerlegen soll und deren Anzahl untersuchen soll.
Nun gut, die Bahnen Gm= [mm] \{ gm|g\in G \} [/mm] bilden ja eine Partition von M und die Mächtigkeit von M ist die Summe aller Bahnlängen. Nun kann es maximal |M| verschiedene Bahnen geben, wenn jede Bahn die Länge 1 besitzt.
Was ich noch rausgefunden habe: (Ich weiß nicht obs weiterhilft)
- Das Zentrum Z(G)={a [mm] \in [/mm] G|ga=ag [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G} [mm] \not= [/mm] {0}
- Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube dass G genau eine p-Sylowgruppe enthält, genau eine [mm] p^2-Sylowgruppe, [/mm] genau eine [mm] p^3-Sylowgruppe, [/mm] ... ,genau eine [mm] p^r-Sylowgruppe. [/mm] Diese sind alle Normalteiler in G, also ist G nicht einfach.
Bitte helft mir hier weiter und korrigiert mich vlt auch, wenn ich das oben falsch überlegt habe, auch wenn's nicht zur Lösung der Aufgabe beiträgt. Vielen Dank schon mal.
MfG Oby
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Hi oby,
schreibe dir die Bahnformel mal auf, beachte dabei, dass p nicht die eine Seite teilt, was muss dann für die andere Seite gelten?
Dann folgerst noch zweimal, dann stehts da 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 01.06.2009 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | Hi oby,
schreibe dir die Bahnformel mal auf, beachte dabei, dass p nicht die eine Seite teilt, was muss dann für die andere Seite gelten?
Dann folgerst noch zweimal, dann stehts da
MFG,
Gono. |
Hey Gono.
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Nun habe ich bei Wikipedia die Bahnformel rausgesucht. Die lautet:
|G|=|G*x| [mm] |G_x| [/mm]
Also soweit ich weiß, ist doch [mm] G_x [/mm] der Stabilisator, der da definiert wäre als
[mm] G_x [/mm] = [mm] \{ g \in G | g*m = m \}
[/mm]
Welche Seite teilt denn hier p nicht?? Denn da |G| = [mm] p^r [/mm] muss doch p die linke Seite teilen,oder nicht? Wie kommst du darauf dass p eine der Seiten nicht teilt??
MfG, Oby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Siehe Antwort unten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 01.06.2009 | | Autor: | oby |
Nun habe ich also mein Bahnformel vor mir stehen,
also |G| = |G*x| [mm] |G_x|;
[/mm]
Ich nehme nun an es gäbe kein solches Fixelement: Das bedeutet, dass [mm] G_x \not= [/mm] G [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M und das bedeutet, dass |G*x| [mm] \not= [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M.
Nun muss ich ja doch nurnoch ein x [mm] \in [/mm] M finden, wo dies zu einen Widerspruch führt,oder bin ich mal wieder ganz falsch?? Und wenn ja, welches x aus M kann ich denn da nehmen?
Danke nochmal für eure Antworten!
MfG Oby
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Hiho,
zum einen steht bei der Bahnformel auf der einen Seite |M| und nicht |G| und zum anderen kann man die Bahnformel auch umschreiben als:
[mm]|M| = \summe_{i\in I}\bruch{|G|}{|G_{x_i}|}[/mm] und I ein geeignetes Repräsentantensystem darstellt und [mm] G_{x_i} [/mm] der Stabilisator zu [mm] x_i [/mm] ist.
So, nun gilt [mm]G_{x_i} \le G[/mm] und damit gilt was für [mm] |G_{x_i}|?
[/mm]
So, nun teilt p nicht |M|, was muss dann für ein [mm] G_{x_i} [/mm] gelten?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 01.06.2009 | | Autor: | oby |
Vielen Dank Gono!!
Ich habs glaub ich verstanden.
Ich krieg dann raus dass p nicht die Summe auf der rechten Seite teilt, d.h.
p teilt nicht [mm] \summe_{i\in I} p^{r-a_i}. [/mm] da ja [mm] |G_x_i|=p^a [/mm] mit a [mm] \in \{0,...r\} [/mm] sein muss. Und dies ist nur möglich falls die Summe =1, d.h es gibt nur einen Stabilisator und der hat die selbe Ordnung wie G. Dadurch ist der Stabilisator=G und damit ist das Fixelement gefunden.
Stimmt das soweit?
Nur wie ich auf die umgeschriebene Bahnformel komme ist mir noch nicht ganz klar. Stimmt denn die Formel in Wikipedia nicht?
Also vielen Dank nochmal für deine Hilfe.
MfG Oby
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Hiho,
> Ich krieg dann raus dass p nicht die Summe auf der rechten
> Seite teilt,
Genau.
> p teilt nicht [mm]\summe_{i\in I} p^{r-a_i}.[/mm] da ja [mm]|G_x_i|=p^a[/mm]
> mit a [mm]\in \{0,...r\}[/mm] sein muss.
Jap.
> Und dies ist nur möglich
> falls die Summe =1,
Nein, stimmt so nicht ganz, wann teilt p eine Summe? Bzw. wann teilt p eine Summe NICHT.
Überlegs nochmal
> d.h es gibt nur einen Stabilisator und
> der hat die selbe Ordnung wie G.
Nein, es kann durchaus mehrere geben (warum, oben nochmal überlegen) aber mindestens ein mit Ordnung |G|, das stimmt soweit.
> Dadurch ist der
> Stabilisator=G und damit ist das Fixelement gefunden.
Jop.
Zur Bahnformel: Die kannst du dir recht fix herleiten.
Du weisst bereits, dass [mm]G*x \subset M[/mm] eine Bahn ist und eine Äquivalenzklasse definiert.
Nun zerfällt M disjunkt in Äquivalenzklassen, d.h. in seine Bahnen, also:
[mm]M = \bigcup_{j\in J}^*G*x_j[/mm], wobei J ein geeignetes Repräsentantensystem ist.
Damit folgt:
[mm]|M| = |\bigcup^*_{j\in J}G*x_j| = \summe_{j\in J}|G*x_j|[/mm]
Und wie bei Wikipedia zu lesen gilt [mm]|G*x_j| = (G:G_{x_j}) = |G/G_{x_j}| = \bruch{|G|}{|G_{x_j}|}[/mm]
MfG,
Gono.
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