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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Do 03.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe und k ein Körper. Man betrachte den k-Vektorraum mit der Basis { [mm] e_{g} [/mm] | g [mm] \in [/mm] G } (das heißt, alle formalen Linearkombinationen dieser Menge) und versehe diesen wie folgt mit einer Multiplikation: [mm] e_{g}*e_{h} [/mm] := [mm] e_{gh}. [/mm] Man zeige: auf diese Weise erhält man einen Ring (Er heißt der Gruppenring der Gruppe G über k, Notation k [G]). |
Hallo!
Ich habe Probleme beim Verständnis der Aufgabe. Ich verstehe nicht ganz welche Struktur zu einem Ring wird. Der Vektorraum? Wenn ja: Ist dann der Gruppenring "mehr" als ein Vektorraum?
Vielleicht kann mir jemand mal genau erklären, was ich bei dieser Aufgabe genau mache bzw. welche Struktur zu einem Ring wird. Wär super!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Do 03.01.2008 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Leni
> Sei G eine endliche Gruppe und k ein Körper. Man betrachte
> den k-Vektorraum mit der Basis { [mm]e_{g}[/mm] | g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G } (das
> heißt, alle formalen Linearkombinationen dieser Menge) und
> versehe diesen wie folgt mit einer Multiplikation:
> [mm]e_{g}*e_{h}[/mm] := [mm]e_{gh}.[/mm] Man zeige: auf diese Weise erhält
> man einen Ring (Er heißt der Gruppenring der Gruppe G über
> k, Notation k [G]).
>
> Ich habe Probleme beim Verständnis der Aufgabe. Ich
> verstehe nicht ganz welche Struktur zu einem Ring wird. Der
> Vektorraum?
Ja, der Vektorraum.
> Wenn ja: Ist dann der Gruppenring "mehr" als
> ein Vektorraum?
Ja, er hat naemlich auch noch eine Multiplikation, die es vorher nicht gab. Die Multiplikation ist die eindeutig bestimmte $K$-bilineare Abbildung $* : k[G] [mm] \times [/mm] k[G] [mm] \to [/mm] k[G]$ mit [mm] $e_g [/mm] * [mm] e_h [/mm] = [mm] e_{gh}$.
[/mm]
(Wenn dir das nichts sagt, schau doch noch mal in der linearen Algebra nach, wie bilineare Abbildungen beschrieben werden koennen: naemlich indem man fuer jedes Paar von Basisvektoren einen Vektor aus dem Zielvektorraum vorgibt.)
> Vielleicht kann mir jemand mal genau erklären, was ich bei
> dieser Aufgabe genau mache bzw. welche Struktur zu einem
> Ring wird. Wär super!
Ich hoffe das obige hilft ein wenig. Ansonsten: frag!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Do 03.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Felix!
Danke schonmal.... was muss ich denn dann alles zeigen, wenn ich zeigen soll, dass es ein Ring ist? Kann ich dann schon davon ausgehen, dass es eine additive Untergruppe gibt (weil der Vektorraum ist ja sozusagen eine additive Untergruppe, oder?) ?
Muss ich dann theorteisch nur noch die multiplikative Abgeschlossenheit und die Distributivgesetze nachweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Do 03.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni
> Danke schonmal.... was muss ich denn dann alles zeigen,
> wenn ich zeigen soll, dass es ein Ring ist? Kann ich dann
> schon davon ausgehen, dass es eine additive Untergruppe
> gibt (weil der Vektorraum ist ja sozusagen eine additive
> Untergruppe, oder?) ?
Ja, davon kannst du ausgehen.
> Muss ich dann theorteisch nur noch die multiplikative
> Abgeschlossenheit und die Distributivgesetze nachweisen?
Genau. Und dass es ein Einselement gibt (wenn Ring bei euch so definiert war; der Ring hat aber in jedem Fall eins).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Do 03.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
Ok danke.... jetzt hab ich aber trotzdem Probleme beim Beweis. Wenn ich jetzt die Abgeschlossenheit zeigen will, fang ich so an:
ich nehme mir ein v und ein w aus dem Ring mit
v= [mm] v_{1} e_{g1} [/mm] + [mm] v_{2} e_{g2} [/mm] + .......+ [mm] v_{n} e_{gn} [/mm] und
w= [mm] w_{1} e_{g1} [/mm] + [mm] w_{2} e_{g2} [/mm] + ..... + [mm] w_{n} e_{gn}
[/mm]
wobei |G| = n, die Basis von V B= { [mm] e_{g1},....,e_{gn} [/mm] } ist und
[mm] v_{1},....,v_{n},w_{1},....,w_{n} \in [/mm] k
Und dann muss ich ja zeigen, dass v*w auch [mm] \in [/mm] R ist.
Dafür setze ich ja dann
v*w= [mm] (v_{1}e_{g1}+.....+v_{n}e_{gn}) [/mm] * [mm] (w_{1}e_{g1}+.....+w_{n}e_{gn} [/mm] )
Wie kann ich das jetzt hier zusammenfassen? Ich müsste ja jetzt theoretisch jeden Eintrag mit jedem multiplizieren, oder? Warum darf ich das hier? Ich mein, warum darf ich das Distributivgesetz hier anwenden? Das ist ja im Vektorraum so nicht definiert.....
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Do 03.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ok danke.... jetzt hab ich aber trotzdem Probleme beim
> Beweis. Wenn ich jetzt die Abgeschlossenheit zeigen will,
> fang ich so an:
>
> ich nehme mir ein v und ein w aus dem Ring mit
>
> v= [mm]v_{1} e_{g1}[/mm] + [mm]v_{2} e_{g2}[/mm] + .......+ [mm]v_{n} e_{gn}[/mm] und
> w= [mm]w_{1} e_{g1}[/mm] + [mm]w_{2} e_{g2}[/mm] + ..... + [mm]w_{n} e_{gn}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> wobei |G| = n, die Basis von V B= { [mm]e_{g1},....,e_{gn}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> ist und
> [mm]v_{1},....,v_{n},w_{1},....,w_{n} \in[/mm] k
>
> Und dann muss ich ja zeigen, dass v*w auch [mm]\in[/mm] R ist.
>
> Dafür setze ich ja dann
>
> v*w= [mm](v_{1}e_{g1}+.....+v_{n}e_{gn})[/mm] *
> [mm](w_{1}e_{g1}+.....+w_{n}e_{gn}[/mm] )
>
> Wie kann ich das jetzt hier zusammenfassen? Ich müsste ja
> jetzt theoretisch jeden Eintrag mit jedem multiplizieren,
> oder? Warum darf ich das hier? Ich mein, warum darf ich das
> Distributivgesetz hier anwenden? Das ist ja im Vektorraum
> so nicht definiert.....
das sieht ganz gut aus. die multiplikation ist ja erstmal nur für die basiselemente definiert und wird dann $K$-linear ausgedehnt. mach dir klar, dass
[m] v \cdot w = \sum_{g \in G} \left( \sum_{g_i \cdot g_j = g} v_i w_j \right) e_g [/m].
hier ist die summenschreibweise sehr nützlich, alles andere verwirrt nur.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Irgendwie verstehe ich nicht ganz, wie der Beweis für die multiplikative Abgeschlossenheit jetzt funktionieren soll...
ich fange an mit v*w = [mm] (v_{1}e_{g1}+.....+v_{n}e_{gn}) [/mm] * [mm] (w_{1}e_{g1}+.....+w_{n}e_{gn}) [/mm] = ....
Und wie gehts dann weiter? Also wo bring ich denn die Definition ein, dass [mm] e_{gn}*e_{gm} [/mm] = [mm] e_{gnm} [/mm] ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 06.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
Ich verstehe eben nicht, warum ich hier schon das Distributivgesetzt anwenden darf? Weil das muss ich ja eigentlich erst zeigen, weil ich ja zeigen muss, dass es sich um einen Ring handelt...
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 So 06.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni
> Ich verstehe eben nicht, warum ich hier schon das
> Distributivgesetzt anwenden darf? Weil das muss ich ja
> eigentlich erst zeigen, weil ich ja zeigen muss, dass es
> sich um einen Ring handelt...
Da hast du prinzipiell Recht mit deinem Einwand, allerdings ist hier die Multiplikation als bilineare Abbildung definiert, und das bedeutet gerade, dass das Distributivgesetz gilt!
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 So 06.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni
> Irgendwie verstehe ich nicht ganz, wie der Beweis für die
> multiplikative Abgeschlossenheit jetzt funktionieren
> soll...
Die Abgeschlossenheit ist klar, da die Multiplikation als bilineare Abbildung mit Bild im Gruppenring definiert ist. Damit ist sie natuerlich abgeschlossen. Die Distributivitaet ist ebenfalls klar, da sie bilinear ist (siehe meine andere Antwort). Was du aber z.B. noch zeigen musst, ist, dass die Multiplikation assoziativ ist.
> ich fange an mit v*w = [mm](v_{1}e_{g1}+.....+v_{n}e_{gn})[/mm] *
> [mm](w_{1}e_{g1}+.....+w_{n}e_{gn})[/mm] = ....
>
> Und wie gehts dann weiter? Also wo bring ich denn die
> Definition ein, dass [mm]e_{gn}*e_{gm}[/mm] = [mm]e_{gnm}[/mm] ist?
Wegen der Bilinearitaet bekommst du $v * w = [mm] v_1 w_1 e_{g1} e_{g1} [/mm] + [mm] v_1 w_2 e_{g1} e_{g2} [/mm] + [mm] \dots$, [/mm] und z.B. ist [mm] $e_{g1} e_{g2} [/mm] = [mm] e_{g1 g2}$.
[/mm]
LG Felix
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