Gruppentafel vervollständigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Di 14.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Folgende Gruppentafel soll vervollständigt werden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo Forum,
ich komme hier gerade nicht weiter und ich glaube es geht schneller wenn mir jemand dabei hilft.
Also ich möchte die obie Gruppentafel vervollständigen.
- Ich weiß jedes Element braucht ein Inverses
- Es gibt ein eindeutig bestimmtes neutrales Element (w)
- Die Verknüpfung ist assoziativ
Daraus folgt auch: In jeder Zeile und Spalte darf ein Element nur einmal stehen, sonst ensteht ein Widerspruch durch das inverse Element.
Hätten wir a * a = a und a * b = a und multipliziert man auf beiden Seiten [mm] a^{-1} [/mm] von links dran erhält man
[mm] a^{-1} [/mm] * a * a = [mm] a^{-1} [/mm] * a und
[mm] a^{-1} [/mm] * a * b = [mm] a^{-1} [/mm] * a
und daraus
e * a = e und
e * b = e und damit zwei neutrale Elemente was nicht sien kann.
Ist die Begründung soweit ausreichend, oder lässt sich das noch eleganter formuleiren?
Ok dann weiter.
Also durch ausprobieren habe ich schon folgende Ergebnisse erhalten:
(x * u) * v = x wobei x * u = z
x * (u * v) = und u * v = w
=> w ist neutrales Element
Meine eigentliche Frage war, wie man möglichst systematisch zur ausgefüllten tabelle kommt. Also gesucht ist ein konkreter Algorithmus den man programmieren kann/könnte.
Mein Ansatz wäre jetzt folgender:
Man sucht immer Ketten von Verknüpfungen die aus drei Elementen, zwei Verknüpfungen und einem Ergebnis bestehen:
[mm] (el_1 [/mm] * [mm] el_2) [/mm] * [mm] el_3 [/mm] = ergebnis bzw.
Kennt man nun auch das Ergbnis des Teilergebnis nach Anwendung des Assoziativsgesetztes - also von [mm] (el_2 [/mm] * [mm] el_3), [/mm] dann kennt man auch
[mm] el_1 [/mm] * (ergenis von [mm] el_2 [/mm] * [mm] el_3) [/mm] = x
Allerdings verliere ich sehr schnell den Überblick und verzettel mich dann irgendwann und weiß nicht mehr was ich schon geprüft habe und was nicht. Außerdem finde ich es schwierig schon bekannte Teilergebnisse zu finden, ich habe auf meinem Blatt lauter weiße Stellen an denen ich nicht weiß was da hin gehört, weil mir Teilergebnisse noch nicht bekannt sind.
Was ich also bräuchte wäre eine Strategie, wie man das schnell und relativ einfach mit System löst.
Jemand einen guten Vorschlag?
Danke und Grüße
Mumrel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:46 Di 14.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Ich glaube die bessere Strategie würde zunächst mal so lauten:
1) Suche ein Element in der Tafel das zwei mal vorkommt (hier x)
2) Stelle für eines die Gleichung auf, also
v * y = x
3) Ersetzte v oder y durch eine Kobination die gegeben ist.
v * (x * v) = x
4) Klamere um
(v * x) * v = x und suche in der Tabelle nach einem Eintrag der für
? * v = x ergibt und ergänze die Tabelle v * x := ?.
Also der Knackpunkt dürfte sein, dass man am Anfang ein Element doppelt gegeben bruacht, ich denke sonst kommt man nicht weit.
Grüße Mumrel
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> Folgende Gruppentafel soll vervollständigt werden:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Was ich also bräuchte wäre eine Strategie, wie man das
> schnell und relativ einfach mit System löst.
>
> Jemand einen guten Vorschlag?
Hallo,
mit einem Vorschlag zur Programmierung kann ich nicht dienen, ich glaube allerdings auch nicht, daß es darauf ankommt.
Deine Gruppe ist von der Ordnung 6, und Gruppen der Ordnung 6 gibt es ja überhaupt nur 2.
Die Möglichkeiten sind also recht eingeschränkt.
Als neutrales Element kommen nur x und w infrage, und man sieht schnell, daß w das neutrale Element ist.
Damit kannst Du weitere Lücken füllen.
x ist ein Element der Ordnung 2.
Nun kommt's darauf an, ob Du Indizien dafür findest, daß die Gruppe zyklisch ist oder eben nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Di 14.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Folgende Gruppentafel soll vervollständigt werden:
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Nun kommt's darauf an, ob Du Indizien dafür findest, daß
> die Gruppe zyklisch ist oder eben nicht.
Noch ein kleiner Hinweis von mir: zyklisch ist die Gruppe genau dann, wenn sie kommutativ ist. Und hier ist dies nicht der Fall (was bedeutet kommutativ in Bezug auf die Gruppentafel? dies liefert hier sehr schnell einen Widerspruch dazu, dass es ueberhaupt eine Gruppe ist).
LG Felix
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> Hallo
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> > > Folgende Gruppentafel soll vervollständigt werden:
> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Nun kommt's darauf an, ob Du Indizien dafür findest, daß
> > die Gruppe zyklisch ist oder eben nicht.
>
> Noch ein kleiner Hinweis von mir: zyklisch ist die Gruppe
> genau dann, wenn sie kommutativ ist. Und hier ist dies
> nicht der Fall (was bedeutet kommutativ in Bezug auf die
> Gruppentafel?
Hallo,
das sehe ich auch ganz schnell!!!
> dies liefert hier sehr schnell einen
> Widerspruch dazu, dass es ueberhaupt eine Gruppe ist).
Aber ich sehe den Widerspruch nicht - zumindest nicht schnell...
Es kann doch immer noch [mm] S_3 [/mm] sein - oder etwa nicht?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Di 14.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela
> > Noch ein kleiner Hinweis von mir: zyklisch ist die Gruppe
> > genau dann, wenn sie kommutativ ist. Und hier ist dies
> > nicht der Fall (was bedeutet kommutativ in Bezug auf die
> > Gruppentafel?
>
> Hallo,
>
> das sehe ich auch ganz schnell!!!
Gut :)
> > dies liefert hier sehr schnell einen
> > Widerspruch dazu, dass es ueberhaupt eine Gruppe ist).
>
> Aber ich sehe den Widerspruch nicht - zumindest nicht
> schnell...
> Es kann doch immer noch [mm]S_3[/mm] sein - oder etwa nicht?
Da hab ich mich wohl ziemlich missverstaendlich ausgedrueckt. Ich meinte: wenn man annimmt, dass es kommutativ waere, dann bekommt man einen Widerspruch dazu, dass es eine Gruppe ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Di 14.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Also ich mache Fortschritte aber das geht so schnarchlangsam.
Mir fehlt einfach die Stategie. Ich versuche immer bereits bekanntes zu verknüpfen um neue Elemente zu bekommen, mal klappt das mal nicht.
Und ich habe irgendwie nohc nicht rausgefunden wie ich vorgehen muss, damit man das zügig ausfüllen kann.
Momentaner Stand:
[Dateianhang nicht öffentlich]
- w NE da der Zeile x nur x und w fehlen, x sich aber nicht
neutral verhält
1: Jedes Element nur einmal pro Ziele, einmal pro Spalte
2:
x * y = v
(x * y) * y = x
x * (y * y) = x
=> y * y = w
3:
v * y = x
v * (x * v) = x
(v * x) * v = x
=> v * x = z
4:
x * u = z
(z * v) * u = z
z * (v * u) = z
=> v * u = w
Danke euch für die ANregungen soweit
Grüße Mumrel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Momentaner Stand:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> 4:
> x * u = z
> (z * v) * u = z
> z * (v * u) = z
> => v * u = w
Hallo,
diese Information ist doch brandheiß!
Wenn vu=w, dann ist weder [mm] v^2=w [/mm] noch [mm] u^2=w.
[/mm]
Da die zyklische Gruppe bereits aus dem Rennen ist, wissen wir, daß uns noch ein Element der Ordnung 2 fehlt, und für dieses bleibt ja nur noch z übrig! Also ist [mm] z^2=w.
[/mm]
Tja, und weil wir doch längst wissen, daß die Gruppe [mm] S_3 [/mm] herauskommen muß, bleibt für u und v jetzt noch die Ordnung 3 übrig.
[mm] u^3=w=vu [/mm] ==> [mm] u^2=v
[/mm]
Und wieder ist man ein Stück weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 14.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hallo Angela,
> Da die zyklische Gruppe bereits aus dem Rennen ist, wissen
> wir, daß uns noch ein Element der Ordnung 2 fehlt, und für
> dieses bleibt ja nur noch z übrig! Also ist [mm]z^2=w.[/mm]
Was ist die Ordnung eines Elementes? Und warum fehlt uns noch eines der Ordnung 2?
> Tja, und weil wir doch längst wissen, daß die Gruppe [mm]S_3[/mm]
> herauskommen muß, bleibt für u und v jetzt noch die Ordnung
> 3 übrig.
Ich glaube dir, aber ich weiß gar nicht was S3 ist ;).
Die Wikipedia hat mir nur igrendwas von Syetriegruppen erzählt. Und über Zyklische Gruppen hätte ich gewußt, dass es bei denen so etwas wie erzeugende Elemente gibt.
> [mm]u^3=w=vu[/mm] ==> [mm]u^2=v[/mm]
Ja, aber ich kanns nicht wirklich nachvollziehen..
Mein Arbeitsmittel ist bisher das Assoziativgesetzt, aber selbst damit bleibt das eine Sisyphos-Arbeit.
Grüße Mumrel
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Hallo Mumrel,
es fällt mir jetzt schwer zu antworten, weil ich das gefühl bekomme, daß Du sehr wenig über Gruppen weißt.
Ich dachte eigentlich, daß Du für die Algebra1-Vorlesung o.ä. wiederholen würdest - daß Du die symmetrische Gruppe nicht kennst, macht mich nun stutzig...
Aus welcher Vorlesung kommt die Aufgabe, und was war bereits dran?
> Was ist die Ordnung eines Elementes?
wie oft man es mit sich selbst verknüpfen muß um das neutrale Element zu erhalten.
>Und warum fehlt uns
> noch eines der Ordnung 2?
Weil wir neben dem neutralen bereits 2 Elemente mit dieser Eigenschaft haben und wissen, daß es in [mm] S_3 [/mm] drei solcher [mm] (\not= [/mm] neutrales Element) gibt, die drei Spiegelungen.
> Ich glaube dir, aber ich weiß gar nicht was S3 ist ;).
> Die Wikipedia hat mir nur igrendwas von Syetriegruppen
> erzählt. Und über Zyklische Gruppen hätte ich gewußt, dass
> es bei denen so etwas wie erzeugende Elemente gibt.
>
> > [mm]u^3=w=vu[/mm] ==> [mm]u^2=v[/mm]
> Ja, aber ich kanns nicht wirklich nachvollziehen..
In einer Gruppe hat jedes Element ein Inverses.
[mm] u^3=w=vu [/mm] ==> [mm] u^3u^{-1}=vuu^{-1} [/mm] ==> [mm] u^2=v
[/mm]
> Mein Arbeitsmittel ist bisher das Assoziativgesetzt, aber
> selbst damit bleibt das eine Sisyphos-Arbeit.
Wenn es so ist, daß Du über Gruppen bisher nicht mehr weißt als die Gruppenaxiome, kann Dir solch ein Gefrickel kaum erspart werden, glaube ich.
Vielleicht ist es noch hilfreich, Dich ggf. daran zu erinnern, daß es nur echte Untergruppen mit 2 oder drei Elementen geben kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 14.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Angela,
> es fällt mir jetzt schwer zu antworten, weil ich das gefühl
> bekomme, daß Du sehr wenig über Gruppen weißt.
Naja, so viel haben wir darüber nicht gemacht.
> Ich dachte eigentlich, daß Du für die Algebra1-Vorlesung
> o.ä. wiederholen würdest - daß Du die symmetrische Gruppe
> nicht kennst, macht mich nun stutzig...
Die einzigen Gruppen die wir uns genauer angeschaut haben, auch auf dem Ü-Blatt war die Kleinsche Vierergruppe und die zyklische Gruppe.
Weder Erzeuger noch Orndung eines Elementes wurden besprochen.
Aber jetzt weiß ich was [mm] S_n [/mm] ist. Das sind ja die Permutationen (steht zugegebenermaßen im Skript als Besispiel).
Im Rahmen d. Kleinschen Vierergruppe und Zyklsichen Gruppe haben wir auch nur den Aspekt rausgearbeitet, dass die Elemente entweder slebstinvers, oder paarweise invers sind.
> Aus welcher Vorlesung kommt die Aufgabe, und was war
> bereits dran?
Mathe für Info, 1. Semester, "Ausflug in die Algebra"
http://preprints.ians.uni-stuttgart.de/downloads/2007/2007-008.pdf
S. 53 - 62 ist mein Hintergrund.
> Wenn es so ist, daß Du über Gruppen bisher nicht mehr weißt
> als die Gruppenaxiome, kann Dir solch ein Gefrickel kaum
> erspart werden, glaube ich.
Ok, kann gut sein das das so ist, ich dachte nur ich mache was falsch. Hätte ja sein können, dass man mit der richtigen Strategie die Fehlversuche minimiert und so auch schneller wird.
Grüße Mumrel
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