Gruppentafeln,isomorph,zykl. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Menge {e, a, b, c} bildet mit den Operationen ◦1 und ◦2 eine Gruppe. Vervollständigen Sie die Gruppentafeln! Sind diese beiden Gruppen isomorph? Ist eine von ihnen zyklisch? |
Hallo!
Ich habe jetzt die Gruppentafeln verfollständigt. Die eingeklammerten Buchstaben waren schon vorgegeben.
◦1 | e a b c
---------------------
e | e a b c
a | a [e] c b
b | b c [e] a
c | c b a [e]
◦2 | e a b c
----------------
e | e a b c
a | a b c [e]
b | b c [e] a
c | c [e] a b
Stimmt das so?
Die 2. Gruppentafel ist zyklisch, da e ◦a=a, a ◦a=b, b ◦a=c und c ◦a=e ist, oder? Aber wie schreibt man das denn auf?
Und kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich jetz nachweise, ob bzw. dass die isomorph sind?
Wäre echt super!
Danke schonmal!
Lg, Raingirl87
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 19.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Raingirl!
> Die Menge [mm]\{e, a, b, c\}[/mm] bildet mit den Operationen ◦1
> und ◦2 eine Gruppe. Vervollständigen Sie die
> Gruppentafeln! Sind diese beiden Gruppen isomorph? Ist eine
> von ihnen zyklisch?
> Hallo!
> Ich habe jetzt die Gruppentafeln verfollständigt. Die
> eingeklammerten Buchstaben waren schon vorgegeben.
>
> ◦1 | e a b c
> ---------------------
> e | e a b c
> a | a [e] c b
> b | b c [e] a
> c | c b a [e]
>
> ◦2 | e a b c
> ----------------
> e | e a b c
> a | a b c [e]
> b | b c [e] a
> c | c [e] a b
>
> Stimmt das so?
Ja.
> Und kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich jetz
> nachweise, ob bzw. dass die isomorph und/oder zyklisch
> sind?
Bei zyklischen Gruppen der Ordnung $4$ gibt es ein Element $g$ mit $g [mm] \neq [/mm] e$, [mm] $g^2 \neq [/mm] e$, [mm] $g^3 \neq [/mm] e$ und [mm] $g^4 [/mm] = e$. (Also zyklisch sein ist aequivalent zur Existenz eines solchen Elements.)
Zur Isomorphie: Schau dir [mm] $g^2$ [/mm] an fuer jeweils alle Elemente $g$ aus den beiden Gruppen. Angenommen, es gaebe einen Isomorphismus; was wuerde das fuer die [mm] $g^2$s [/mm] bedeuten, wenn du sie unter dem Isomorphismus abbildest?
LG Felix
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