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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Scherge |
| Aufgabe | In der Mengenalgebra gibt es den Begriff der Gruppe, der durch die Gruppenaxiome definiert wird. Erläutern Sie diese und geben Sie Beispiele für Gruppen aus der Analysis und vektoriellen analytischen Geometrie .
Beweisen sie desweiteren das für "nicht kommutative (!)" Gruppen golt:
a) Es gibt genau ein neutrales ELement
b) Das Inverse des inversen Elementes ist dsa Element selbst |
hallihallo...also die axiome herzubeten hab ich noch hinbekommen und die Beweise für abelsche Gruppen auch, nur die Beweise für die "nicht kommutativen" fallen mir sehr schwer... Könnt ihr mir da helfen und mir ne Empfehlung geben welche Gruppen aus ANalysis und vekt. anal. Geometrie ich bringen könnte?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=113449
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Scherge |
gilt dieser beweis bzgl. des inversen Elementes:
(a*)* = (a*)* ◦ n
=(a*)* ◦ (a* ◦ a)
= [(a*)* ◦ a*] ◦ a
= n ◦ a
= a
ich bin mir nicht sicher, da er sich ja nicht explizit auf nicht kommutative gruppen bezieht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Minchen |
Hab grad deine Beweisidee für das Inverse des Inversen Elements gelesen.
Der Beweis stimmt auch. Auf nicht kommutative Gruppen kannst du nicht expliziter eingehen, da wie schon gesagt dieses Axiom für nicht kommutative und kommutative Gruppen gilt.
Da dein Beweis für nicht kommutative Gruppen gelten soll, heißt das nur das du in deinem Beweis die Kommutativität nicht benutzen darfst.
Grüßle Minchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Minchen |
Hallo Scherge,
Die Beweise zu den nicht kommutativen Gruppen sind nicht so schwer, wie sie scheinen, da diese Axiome sowohl in kommutativen, als auch in nicht kommutativen Gruppen gelten.
zu a)
Es gibt genau ein neutrales Element
Versuch es mit einem Beweis durch einen Widerspruch, d.h. geh davon aus, dass es zwei neutrale, nicht gleiche Elemente gibt.
zu b)
Das Inveres des inversen Elementes ist das Element selbst
Für das Inverse Element gilt: a^(-1) [mm] \* [/mm] a = e
Folglich ist das Inverse des Inversen Elementes (a^(-1))^(-1)
Also gilt: (a^(-1))^(-1) [mm] \* [/mm] a^(-1) = e
Um zu beweisen das (a^(-1))^(-1) = a reichen die normalen Potenzgesetzt aus.
Grüßle Minchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Scherge |
okay, vielen vielen dank schon mal... und welche gruppen aus analysis und vekotr. anal. geometrie würden sich deiner ansicht nach am besten eignen?
mfg scherge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Sa 12.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Ich würde sagen Matrizenmultiplikation [mm] (\IR^{n\times n}, \odot).
[/mm]
Ist eine Gruppe (Assoziativität gilt, neutrales Element gibt es, aber ein Inverses nicht immer und im allgemeinen nicht Kommutativ).
Kann man das trotzdem als Gruppe durchgehen lassen?
Zählt das überhaupt zur Analysis oder vektor. analytischen Geometrie?
Mit Vektoren wäre da noch das Kreuzprodukt, da müsste man aber erst mal die anderen Axiome durchgehen.
Wie gesagt ich bin mir nicht sicher, aber das ist das erste, was mit Spontan einfällt.
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> Ich würde sagen Matrizenmultiplikation [mm](\IR^{n\times n}, \odot).[/mm]
>
> Ist eine Gruppe (Assoziativität gilt, neutrales Element
> gibt es, aber ein Inverses nicht immer und im allgemeinen
> nicht Kommutativ).
> Kann man das trotzdem als Gruppe durchgehen lassen?
Oh nein!!!!!!!!!!!!!
Keinesfalls!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Eine Gruppe ist nur eine Gruppe, wenn die entsprechenden Axiome gelten.
Wir können das aber retten, indem wir die Menge der invertierbaren Matrizen mit der Matrizenmultiplikation nehmen.
Oder: alle Matrizen mit der Addition.
Gruß v. Angela
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>und welche gruppen
> aus analysis und vekotr. anal. geometrie würden sich deiner
> ansicht nach am besten eignen?
> mfg scherge
Hallo,
alle, die Dir einfallen, sind geeignet. Es gibt da keine guten und schlechten.
Gruß v. Angela
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