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| Aufgabe | | Hilfe bei Definitionen? |
Hab hier folgende Definitionen:
(1)
Es sei (G; [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe.
Für a [mm] \in [/mm] G heißt die Abbildung
[mm] k_a [/mm] : G [mm] \to [/mm] G mit g [mm] \mapsto aga^{-1} [/mm] die Konjugation mit dem Element a. Elemente g; h [mm] \in [/mm] G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein a [mm] \in [/mm] G mit h = [mm] k_a(g) [/mm] = [mm] aga^{-1} [/mm] gibt.
(2)
,,Zueinander konjugiert sein" defniert eine Äquivalenzrelation auf G, deren Äquivalenzklassen Klassen konjugierter Elemente genannt werden.
Fragen:
(2) bedeutet doch, dass die Relation [mm] k_a [/mm] reflexiv, transitiv und symmetrisch ist.
Gut nehme ich mit also mal [mm] S_4:
[/mm]
Ich weiß wie die Permutatationen aussehen. Was mich jetzt immernoch irritiert ist der Klassenbegriff.
Ist das hier mit dem UG begriff gleichzusetzen? Wahrscheinlich nicht. Wie komme ich auf die Klassen?
Hier mal ein erster Versuch meinerseits:
Sei [mm] a=id=\pmat{1&2&3&4\\1&2&3&4}=(1)(2)(3)(4) \Rightarrow a^{-1}=a=id=\pmat{1&2&3&4\\1&2&3&4}=(1)(2)(3)(4) [/mm]
[mm] \Rightarrow g=aga^{-1}
[/mm]
sei [mm] g=\pmat{1&2&3&4\\4&3&2&1}
[/mm]
dann ist ja [mm] g=\pmat{1&2&3&4\\1&2&3&4}\pmat{1&2&3&4\\4&3&2&1}\pmat{1&2&3&4\\1&2&3&4}=g
[/mm]
habe ich es jetzt richtig verstanden das wenn ich dies jetzt für ein anderes Element [mm] h\in [/mm] G mit gleichem a zeigen kann, dass dann h und g konjugierte Elemente sind? O.k. das könnte sogar Sinn machen.
Damit kann ich ja aber nur sagen, ob oder ob nicht?
Wieviele Klassen gibt es denn?
Ich wüßte dass es in [mm] S_4 [/mm] 12 gerade und 12 ungerade Permutationen gibt.
Hat es etwas damit zu tun wie ich daraus nun a, g und h wähle?
Ihr seht. Hier herrscht Unwissenheit. Bitte helft mir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mo 24.09.2007 | | Autor: | pleaselook |
kann sich niemand erbarmen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Di 25.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
Konjugation hat anschaulich gesehen eigentlich für jede Gruppe eine andere Bedeutung. Bei Matrizen wird zB dadurch die sog. Ähnlichkeit definiert.
In deinem Beispiel der Symmetrischen Gruppe [mm] $S_4$ [/mm] besteht die Konjugationsklasse der Identität tatsächlich nur aus sich selbst. Weiter sind genau solche Permutationen in derselben Konjugationsklasse, die eine kanonische Faktorisierung (in disjunkte Zykel) vom gleichn Typ haben.
Z.B. sind alle Transpositionen ähnlich zueinander.
2 Permutationen a, b sind genau dann ähnlich (d.h. in derselben Konjugationsklasse, wenn es eine dritte Permutation p gibt, so daß gilt
[mm] $p^{-1} [/mm] a p = b$. Es muß eine solche Permutation p nur irgendwie geben.
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Hallo,
auf [mm] S_4 [/mm] ist ja koepper schon eingegangen, ich möchte noch ein bißchen Allgemeines zu den Konjugationsklassen sagen.
> (1)
> Es sei (G; [mm]\circ)[/mm] eine Gruppe.
> Für a [mm]\in[/mm] G heißt die Abbildung
> [mm]k_a[/mm] : G [mm]\to[/mm] G mit g [mm]\mapsto aga^{-1}[/mm] die Konjugation mit
> dem Element a. Elemente g; h [mm]\in[/mm] G heißen zueinander
> konjugiert, wenn es ein a [mm]\in[/mm] G mit h = [mm]k_a(g)[/mm] = [mm]aga^{-1}[/mm]
> gibt.
>
> (2)
> ,,Zueinander konjugiert sein" defniert eine
> Äquivalenzrelation auf G, deren Äquivalenzklassen Klassen
> konjugierter Elemente genannt werden.
>
> Fragen:
>
> (2) bedeutet doch, dass die Relation [mm]k_a[/mm] reflexiv,
> transitiv und symmetrisch ist.
Nicht ganz! Denn [mm] k_a [/mm] ist ja keine Relation, sondern eine Abbildung von [mm] G\to [/mm] G.
Die Relation wird hierdurch definiert:
g,h [mm] \in [/mm] G heißen konjugiert, [mm] g\sim [/mm] h <==> es gibt ein x [mm] \in [/mm] G mit g=xhx^-1.
Und dieses so def. [mm] \sim [/mm] ist eine Äquivalenzrelation.
> Was mich jetzt
> immernoch irritiert ist der Klassenbegriff.
> Ist das hier mit dem UG begriff gleichzusetzen?
Nein, die Klassen sind i.d.R. keine Untergruppen.
Schauen wir uns mal an, woraus die Konjugationsklasse von g, nennen wir sie Kon(g) besteht:
da sind alle Elemente drin, die zu g konjugiert sind.
Also alle h [mm] \in [/mm] G, für die man ein x in G findet mit h=xgx^-1,
also ist [mm] Kon(g)=\{xgx^-1| x\in G\}.
[/mm]
Daß das in aller Regel keine Untergruppen sind, siehst Du daran, daß das neutrale Element in den meisten nicht enthalten ist.
Wenn es drin liegt, ist ja für ein x : e=xgx^-1 <==> [mm] x^{-1}ex=g [/mm] <==> e=g
Also ist nur die winzige Konjugationsklasse Kon(e) eine (winzige) Untergruppe von G.
Über diese Klassen wäre noch einiges zu sagen.
Ich beschränke mich auf zweierlei.
1. Je zwei von ihnen sind gleich oder disjunkt.
2. Die Vereinigung aller Konjugationsklassen von G ergibt G.
Gruß v. Angela
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Danke dir erstmal sehr. Hat einiges geklärt.
Kann ich den über die Anzahl der Klassen ne Aussage treffen?
Maximal doch |G|, wenn [mm] G\to [/mm] H, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 25.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Kann ich den über die Anzahl der Klassen ne Aussage
> treffen?
> Maximal doch |G|, wenn [mm]G\to[/mm] H, oder?
was meinst du mit "[mm]G\to[/mm] H"? aber das es maximal $|G|$ konjugiertenklassen gibt ist richtig, da ja in jeder klasse mindestens ein element liegen muss und die klassen disjunkt sind. soviele klassen gibt es (im fall einer endlichen gruppe) genau dann, wenn die gruppe abelsch ist.
im fall der symmetrischen gruppe kann man die nazahl der konjugierten klassen genau angeben, da zu jeder konjugiertenklasse der [mm] $S_n$ [/mm] genau eine partition der zaln $n$ gehört und umgekeht, siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier. dort sind auch repräsentanaten der konjugiertenklassen der [mm] $S_5$ [/mm] angegeben.
grüße
andreas
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Das habe ich leider nicht verstanden. Hat das was mit den transpositionen zu tun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 25.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
was genau verstehst du denn nicht? es ist ziemlich aufwendig alles zu erklären.
die aussage hat aber mit transpositionen nichts zu tuen.
grüße
andreas
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1)Wie komme ich denn nun dahin die Klassen mit allen Elementen aufzuschreiben?
2)Wie komme ich von da an zum Normalteiler?
Gibts für das Wort "Normalteiler" auch ein Synonym?
Was bringt mir das wenn ich Normalteiler und K-Klassen kenne. Was kann ich daraus ableiten?
Nehmen wir [mm] S_4. [/mm] Da kenne ich die vier Normalteiler. Und nu? Was sagt mir das.
Oder nehmen wir die Gruppe [mm] (\IR,+). [/mm] Was sind denn da der Normalteiler und K-Klasse?
Ich kann diese Begriffe nicht fassen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Di 25.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> 1)Wie komme ich denn nun dahin die Klassen mit allen
> Elementen aufzuschreiben?
das kommt auf die spezielle gruppe an. wenn man noch nicht soviel weiß, sollte man einfach mal ein paar konjugationen berechen. also einfach mal ein element nehmen und mit allen gruppenelementen konjugieren dann hat man zumindest mal die konjugiertenklasse diese elements.
aber bei der [mm] $S_n$ [/mm] hilft einem eben der angegeben satz. man muss also einfach alle paertitionen der zahl $n$ berechnen und kann dann eben wie in dem artikel angegeben schnell alle konjugationsklassen angeben.
> 2)Wie komme ich von da an zum Normalteiler?
betrachtet mal in dieser definition punkt 5. man muss also "nur" prüfen, ob die vereinigung von konjugiertenklassen auch eine untergruppe bildet.
> Gibts für das Wort "Normalteiler" auch ein Synonym?
außer "normale untergruppe" kenne ich keines.
> Was bringt mir das wenn ich Normalteiler und K-Klassen
> kenne. Was kann ich daraus ableiten?
das ist schwierig allgemein zu beantworten. unter welchem gesichtspunkt willst du denn die gruppen untersuchen? am besten liest du dir mal den oben verlinkten wikipedia-artikel über normalteiler durch.
> Oder nehmen wir die Gruppe [mm](\IR,+).[/mm] Was sind denn da der
> Normalteiler und K-Klasse?
also die normalteielr von [mm] $(\mathbb{R},+)$ [/mm] zu klassifizieren ist recht schwierig, da gibt es sehr viele nicht isomorphe, denn alle untergruppen $H [mm] \leq \mathbb{R}$ [/mm] sind normal, da [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] abelsch ist, also sind etwa [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] normalteiler von [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
die konjugiertenklassen sind jedoch leicht zu bestimmen. nimm dir doch mal ein elemet $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und konjugiere es mit einem beliebigen weiteren element $y [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] was fällt auf?
grüße
andreas
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Ja gut ich werd nochmal ein wenig Theorie duchschaun.
Zu deiner letzten Frage. (ganz unten)
Feststellungen:
Die Konjugation funkt. für alle [mm] x\in\IR [/mm] unabhäng. vom gewählten [mm] y\in\IR
[/mm]
D.h. jetzt, dass alle [mm] x\in\IR [/mm] zueinander konjugiert sind und es nur eine Klasse gibt die widerum alle [mm] x\in\IR [/mm] enthält?
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> Feststellungen:
> Die Konjugation funkt. für alle [mm]x\in\IR[/mm] unabhäng. vom
> gewählten [mm]y\in\IR[/mm]
Hallo,
was meinst Du mit "funktioniert"? Wie sollte eine Konjugation nicht "funktionieren"?
> D.h. jetzt, dass alle [mm]x\in\IR[/mm] zueinander konjugiert sind
> und es nur eine Klasse gibt die widerum alle [mm]x\in\IR[/mm]
> enthält?
Du betrachtest ja gerade [mm] (\IR, [/mm] +).
Nimm Dir doch mal ein Element heraus, meinetwegen die 2, und stell die Konjugationsklasse auf:
[mm] Kon(2)=\{x+2+(-x)| x\in \IR\}=... [/mm]
Welche Elemente sind denn da drin?
Gruß v. Angela
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Hallo,
es geht ja jetzt speziell darum, wieviele Konjugationsklassen man in [mm] S_4 [/mm] hat.
Ich gehe davon aus, daß Du inzwischen eine Wertetabelle angelegt hast.
Dann könntest Du ja für jedes Element mal die Konjugationsklassen aufstellen.
(Ich sehe Dein Erschrecken geradezu vor mir... Aber manchmal muß man so etwas tun, einfach um es zu begreifen.)
Machen wir es anders:
Stell mal die Konjugationsklassen auf für (1), (12), (123), (1234) und (12)(34).
Du wirst sehen, daß sich in jeder Konjugationsklasse die Elemente gleicher "Bauart" versammeln.
Überzeuge Dich davon, daß sie disjunkt sind und schau nach, ob ihre Vereinigung [mm] S_4 [/mm] ergibt.
Gruß v. Angela
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Ok. Geh ichs an.
Bestimme ich jetzt Kon((1,2)) indem ich jedes Gruppenelement der [mm] S_4 [/mm] einmal als x nehme und schau was bei [mm] x(1,2)x^{-1} [/mm] rauskommt. Hab ich das richtig verstanden?
Danke schonmal. Ich mach das dann auch.
Grüße
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> Bestimme ich jetzt Kon((1,2)) indem ich jedes
> Gruppenelement der [mm]S_4[/mm] einmal als x nehme und schau was bei
> [mm]x(1,2)x^{-1}[/mm] rauskommt. Hab ich das richtig verstanden?
Ja, das hast Du richtig verstanden.
Die Elemente, die Du bekommst, sammelst Du in Kon((1,2)).
Die Konjugationsklassen der Elemente, die sich in Kon((1,2)) einfinden, brauchst Du dann nicht mehr zu untersuchen.
Ihre Konjugationsklasse ist dieselbe, wir wissen ja: disjunkt oder gleich.
Gruß v. Angela
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Ok. Was hab ich herausgefunden:
zur [mm] S_4: [/mm] 1x Einerzyklus; 6x Zweierzyklus(Ordnung=2) (davon je drei gerade und ungerade); 6x Viererzyklus(die Hälfte wieder ungerade); 8x Dreierzyklus(Hälfte gerade) und 3x Doppel-Zweierzyklen
ich habe also auch 5 Klassen gefunden mit oben angegebener Anzahl
[mm] \Rightarrow [/mm] alle Zweierzyklen sind zueinander kongurent;
[mm] \Rightarrow [/mm] alle Dreierzyklen [mm] \ldots [/mm] , etc. , da Zweierzyklen g mit [mm] xgx^{-1} [/mm] wieder Zweierzyklen erzeugen, etc.
und die Klassen sind alle disjunkt und können wieder zur [mm] S_4 [/mm] zusammengefügt werden.
Stimmt das soweit? Are there any additional information? Was kann man gleich noch daran betrachten? Normalteiler? Das mit den UG: [mm] A_4, D_4... [/mm] ist mir daran auch gleich nochmal klar geworden.
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Hallo,
das mit Deinen Klassen klingt schonmal recht gut.
> Stimmt das soweit? Are there any additional information?
Ich bin mir sicher, daß es noch "any" Information gibt - aber nicht von mir.
> Was kann man gleich noch daran betrachten? Normalteiler?
Zu den Normalteilern von [mm] S_4 [/mm] findest Du hier etwas, viele sind es ja nicht.
Mir ist nicht ganz klar, wieviel Theorie Du im Hinterkopf hast bzw. haben solltest - als Naturwissenschaftler wirst Du eher nicht die Algebra-Vorlesung hören, oder doch?
Nun, wenn Du jedenfalls wenig Apparat zur Verfügung hast, mußt Du Deine Untergruppen überprüfen, und eben gucken, welche davon ein NT ist. Ich gebe zu, daß auch das etwas lästig ist.
Aber im Grunde weißt Du die Normalteiler ja schon. Da liegt es nahe, sich das Leben etwas praktisch einzurichten und nachzuweisen, daß sie Normalteiler sind.
Für die verbleibenden Untergruppen brauchst Du ja jeweils nur ein [mm] u\in [/mm] U zu finden und ein x, so daß [mm] x^{-1}ux\not\inU. [/mm] Damit ist die NT-Eigenschaft widerlegt.
Gruß v. Angela
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