Gruppentheorie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:06 So 27.01.2008 | | Autor: | kokiweb |
Hallo,
ich wiederhole die Grundbegriffe der Gruppentheorie und verstehe einen Beweis der Eindeutigkeit des neutralen Elementes nicht gut genug...
Vorab einige Definitionen:
- Sei [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe
- [mm] \circ: [/mm] Verknüpfung auf G
- [mm] {z{\in}G} [/mm] beliebig
- n: neutrales Element von [mm] (G,\circ)
[/mm]
Nachdem nun wie erwartet die Existenz von n gezeigt wurde, also dass
[mm] z{\circ}n=n{\circ}z=z [/mm] (A1),
folgt der Beweis der Eindeutigkeit von n. Also wird angenommen, dass es auch ein [mm] m{\in}G [/mm] gibt mit
[mm] ${z{\circ}m=m{\circ}z=z}$, [/mm] woraus man insbesondere [mm] $m{\circ}n=n$ [/mm] folgern darf.
Da in (A1) bereits [mm] [b]${m{\circ}n=m}$[/b] [/mm] gezeigt wurde, folgt
[mm] [b]${n=m{\circ}n=m}$[/b] [/mm] (insbesondere n=m)
Der Beweis ist leicht zu verfolgen... aber kann man aus ihm wirklich folgern, dass eine bestimmte Gruppe nur dieses eine n als Neutrale hat?
Also ich denke...
- entweder es reicht aus, diesen Beweis zur Eindeutigkeit nur ein Mal gemacht zu haben, da dies ja dann für jede Gruppe gilt (Wenn dies Zutrifft, könnte mir jemand zeigen, WARUM das so ist?)
- oder man darf aus diesem Beweis nicht auf eine bestimmte Gruppe schließen, weil er die Eigenschaften der Gruppe nicht berücksichtigt.
Dankeschön,
Sascha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 So 27.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> folgt der Beweis der Eindeutigkeit von n. Also wird
> angenommen, dass es auch ein [mm]m{\in}G[/mm] gibt mit
>
> [mm]{z{\circ}m=m{\circ}z=z}[/mm], woraus man insbesondere
> [mm]m{\circ}n=n[/mm] folgern darf.
>
> Da in (A1) bereits [mm]{m{\circ}n=m}[/mm] gezeigt wurde, folgt
>
> [mm]{n=m{\circ}n=m}[/mm] (insbesondere n=m)
>
>
> Der Beweis ist leicht zu verfolgen... aber kann man aus ihm
> wirklich folgern, dass eine bestimmte Gruppe nur dieses
> eine n als Neutrale hat?
nicht bloß eine "bestimmte" Gruppe, sondern JEDE Gruppe!
> Also ich denke...
> - entweder es reicht aus, diesen Beweis zur Eindeutigkeit
> nur ein Mal gemacht zu haben, da dies ja dann für jede
> Gruppe gilt (Wenn dies Zutrifft, könnte mir jemand zeigen,
> WARUM das so ist?)
Im Beweis wurden keine weiteren Voraussetzungen verwendet als die Gruppenaxiome, also gilt die Aussage des Beweises überall dort, wo die Gruppenaxiome erfüllt sind, und das ist nunmal (per Definition) bei JEDER Gruppe.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:05 Mo 28.01.2008 | | Autor: | kokiweb |
Vielen Dank für die Antwort! 
> Im Beweis wurden keine weiteren Voraussetzungen verwendet
> als die Gruppenaxiome, also gilt die Aussage des Beweises
> überall dort, wo die Gruppenaxiome erfüllt sind, und das
> ist nunmal (per Definition) bei JEDER Gruppe.
Das gibt dem logischen Denken Bestätigung und die Frage ist eigentlich schon beantwortet, aber mein Gefühl war noch immer dagegen. Ich fragte mich, WIESO aus den Gruppenaxiomen des obigen Beweises folgt, dass in Gruppen stets nur ein einziges neutrales Element existieren kann?
Mein Gefühl wurde erst besser bei dem Gedanken, dass es ja zwei Arten von Betrachtungen der Elemente aus einer Menge gibt:
- ein Element, welches die Eigenschaften des anderen hat, ist das selbe Element
- ein Element, welches die Eigenschaften des anderen hat, ist ein gleiches Element
...also dass in jeder Gruppe jedes Element mit seinen Eigenschaften (im Bezug auf das Kompositionsverhalten in der Gruppe) genau ein Mal existiert (gemäß verheimlichter Definition, denn davon gehen wir ja alle aus). Natürlich könnte man mit Gruppen arbeiten, in denen es Dubletten im Bezug auf das Kompositionsverhalten gibt (ja, z.B. sogar auch das neutrale Element doppelt)... Dann hätte die Gruppentafel eben eine Spalte und Zeile mehr... Aber wozu denn, brint ja nix...
Ich will ja keine Romane Schreiben 
Mein Gedanke: Vielleicht kann man Gruppen mit weniger Axiomen beschreiben, weil Axiome einen zu schleierhaften Charakter haben... und die Gruppen stattdessen definieren auf einer Menge, deren Elemente nicht identisch sind (im Bezug auf das Kompositionsverhalten) ...Niemand wäre an nutzlosen aber lästigen Dubletten innerhalb einer Gruppe interessiert, also passt die Definition doch!
Würden aus dieser einzigen Definition nicht einige Gruppenaxiome folgen? Ich versuche mal...
Assoziativgesetz:
[mm] ${\forall}z{\in}G [/mm] : [mm] {\bigcup_{y{\in}G}(z{\circ}y)} [/mm] = G$ (Definition)
[mm] \Rightarrow ${\bigcup_{y_{1}{\in}G}}{\bigcup_{y_{2}{\in}G}}{\bigcup_{y_{3}{\in}G}(y_{1}, y_{2}, y_{3})} [/mm] = [mm] G{\times}G{\times}G$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow y_{1}{\circ}(y_{2}{\circ}y_{3})=(y_{1}{\circ}y_{2}){\circ}y_{3}$ $\forall y_{1},y_{2},y_{3} \in [/mm] G$
Existenz des Neutralen (Inverse zeigt man sicherlich ähnlich):
[mm] ${\forall}z{\in}G [/mm] : [mm] {\bigcup_{y{\in}G}(z{\circ}y)} [/mm] = G$ (Definition)
[mm] \Rightarrow ${\forall}z{\in}G [/mm] : [mm] {\bigcup_{y{\in}G}(z{\circ}y)} [/mm] = [mm] {\bigcup_{y{\in}G}(y{\circ}z)} [/mm] = G$
es gibt also links- und rechtsneutrale Elemente. Wie ich jetzt auf das beidseitig neutrale n mit [mm] $n{\circ}z=n{\circ}z=z$ [/mm] komme, weiß ich nicht)
Eindeutigkeit des Neutralen (und Inverse):
Da JEDES Element in G gemäß Definition einzigartig ist, kann es nicht mehr als eine Neutrale.
Was denkt Ihr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi kokiweb,
der Gruppenbegriff ist bereits viele Jahrhunderte alt, so verwendete z.B. bereits Galois spezielle Gruppen, um die Frage nach der allg. Lösbarkeit algebraischer Gleichungen zu beantworten. Erst in den 30-Jahren des 20ten Jahrhunderts wurde die Axiomatik in großen Teilen der Mathematik eingesetzt.
So wie eine Gruppe definiert ist (und alles Äquivalente dazu) macht also Sinn.
Was willst Du mit Deinen Ausführungen erreichen? Der Begriff Gruppe steht fest und das, was Du schreibst, charakterisiert keine Gruppe.
Deine erste Frage hat Köpper bereits beantwortet - die Aussage gilt für alle Gruppen, da nur die Axiome einer Gruppe für die Beweisführung benötigt wird.
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Will,
da hast Du Recht, die Aussage "der Gruppenbegriff ist bereits viele Jahrhunderte alt" könnte falsch verstanden werden.
Der Begriff Gruppe wurde laut <em>4000 Jahre Algebra</em> schon vor 1829/31 (zu diesen Zeitpunkte löste Galois das Auflösungsproblem) von z.B. Abel oder anderen Mathematikern verwendet, doch damals verstand man unter diesem Begriff eine "Zusammenfassung von zusammengehörigen Dingen".
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:57 Do 31.01.2008 | | Autor: | kokiweb |
Hallo Will,
Deine Antwort schien mir gar nicht abwegig.
Ich sehe in der algebraischen Struktur "Gruppe" auch viel Nutzen und wiederhole es genau aus diesem Grund nochmal... Aber die Beschreibung dieser Struktur und insbesondere die Axiome halten für mich vieles verborgen, wo evtl. noch etwas zu verstehen wäre. Eine anonyme Beschreibung durch Axiome passt mir eher in die Physik als in die Mathematik.
Viele Grüße
Sascha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:43 Do 31.01.2008 | | Autor: | kokiweb |
Hallo allerseits,
ich beziehe mich in erster Linie mal auf die Antwort von Alex...
> So wie eine Gruppe definiert ist (und alles Äquivalente
> dazu) macht also Sinn.
> Was willst Du mit Deinen Ausführungen erreichen?
Ich wollte zunächst die Struktur "Gruppe" näher kennenlernen und empfinde die Axiome darin als überflüssig. Generell empfinde ich "Axiome" in der Mathematik als fragwürdig.
Bei den Gruppenaxiomen spricht man ja nicht von Gruppendefinitionen, sondern von Axiomen. Hätte der Gruppenbegriff einen allgemein deklaratorischen Zweck, so bräuchte er vielleicht keine Axiome mehr.
Also frage ich: Was will man mit einer Gruppe überhaupt erreichen? Ich stelle als Zweck/Definition in den Raum:
...Eine Gruppe ist eine Menge und eine Komposition von dieser Menge in diese Menge, sodass jedes Element (identifiziert am Komponierungsverhalten) genau ein Mal existiert (gehen wir nicht alle im Hinterkopf davon aus?).
Diese Definition habe ich versucht mathematisch zu formulieren mit:
$ [mm] {\forall}z{\in}G [/mm] : [mm] {\bigcup_{y{\in}G}(z{\circ}y)} [/mm] = G $
Wenn diese Definition also keine Strukturänderungen ggü. den Axiomen verursacht, dann hätten Gruppen ein gutes Gesicht/Zweck statt anonyme Axiome.
Meine eigentliche Frage wurde zwar beantwortet (danke, Koepper), aber all dies einfach so auf "Axiome" schieben, fördert mein mathematisches Verständnis nicht. Und jetzt habe ich gerade Zeit, etwas für mein Verständnis aufzubauen, womit ich den Begriff "Gruppe" evtl. mal befriedigend begreifen kann.
Ich weiß, dass algebraische Strukturen bereits von guten Mathematikern gründlich durchdacht wurden. Und ich beabsichtige nicht, grundlegende Strukturänderungen vorzunehmen. Ich bemühe mich um eine philosophisch und "pädagogisch" sinnvollere Betrachtungsweise, Axiome durch Zweck und Definition zu ersetzen. Das würde auch besser zur "Mathematik" passen.
> Der Begriff Gruppe steht fest und das, was Du schreibst,
> charakterisiert keine Gruppe.
Gibt es fehler? M.E. folgt Abgeschlossenheit, Neutrale... Also vielleicht kann mir nun jemand ZEIGEN dass die Definition $ [mm] {\forall}z{\in}G [/mm] : [mm] {\bigcup_{y{\in}G}(z{\circ}y)} [/mm] = G $ nicht mit den Gruppenaxiomen äquivalent ist. Das sehe ich nämlich nicht. Aber beweisen kann ich es auch nicht.
Danke,
Sascha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Do 31.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Sascha
> > Der Begriff Gruppe steht fest und das, was Du schreibst,
> > charakterisiert keine Gruppe.
>
> Gibt es fehler? M.E. folgt Abgeschlossenheit, Neutrale...
Warum sollte das der Fall sein? Das hast du nicht gezeigt, das behauptest du einfach nur. Als Begruendung hattest du Aussagen hingeschrieben, die wahr sind, und dann einen Folgepfeil und die Behauptung, ohne irgendeine Begruendung zu liefern warum das daraus folgen sollte (was nicht ueberraschend ist, da es keine Begruendung gibt, da es schlicht und einfach falsch ist).
> Also vielleicht kann mir nun jemand ZEIGEN dass die
> Definition [mm]{\forall}z{\in}G : {\bigcup_{y{\in}G}(z{\circ}y)} = G[/mm]
Du meinst sicher [mm] $\forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G : [mm] \bigcup_{y \in G} \{ z \circ y \} [/mm] = G$. Denn auf der linken Seite hast du Elemente aus $G$ stehen, die du Vereinigst, und das ergibt selten wieder $G$, selbst wenn $G$ eine Gruppe ist...
Aber nehmen wir mal an, dass du [mm] $\forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G : [mm] \bigcup_{y \in G} \{ z \circ y \} [/mm] = G$ meinst.
Das bedeutet nichts anderes, als dass es zu jedem $z [mm] \in [/mm] G$ und zu jedem $x [mm] \in [/mm] G$ mindestens ein $y [mm] \in [/mm] G$ gibt mit $z [mm] \circ [/mm] y = x$. Oder anders gesagt: zu jedem $z [mm] \in [/mm] G$ ist die Abbildung [mm] $\varphi_z [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$, $y [mm] \mapsto [/mm] z [mm] \circ [/mm] y$ surjektiv.
Nicht mehr und nicht weniger. Die Verknuepfung wird dadurch weder surjektiv, noch existeren Neutralelemente, noch ist die Verknuepfung assoziativ (im Allgemeinen, in Spezialfaellen klappt es schon).
Etwa: Nimm $G = [mm] \{ 1, 2, 3 \}$ [/mm] und betrachte die Verknuepfungstafel
[mm] $\begin{tabular}{c|ccc} \circ & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{tabular}$
[/mm]
Hier ist die Bedingung erfuellt: sie sagt nichts anderes, als dass in jeder Zeile der Verknuepfungstafel alle Elemente aus $G$ auftauchen. Hier gibt es kein Neutralelement (in keiner Spalte steht $1, 2, 3$) und die Verknuepfung ist nicht assoziativ (es gilt $(2 [mm] \circ [/mm] 2) [mm] \circ [/mm] 2 = 3 [mm] \circ [/mm] 2 = 3 [mm] \neq [/mm] 1 = 2 [mm] \circ [/mm] 3 = 2 [mm] \circ [/mm] (2 [mm] \circ [/mm] 2)$).
Noch ein Appendum: in der Mathematik geht es darum, aus Aussagen durch logische Schlussfolgerungen neue Aussagen zu gewinnen. Anfangen tut man halt mit Axiomen (aus dem nichts kann man nichts neues bekommen). Deswegen braucht man auch Gruppenaxiome: man nimmt an, dass ein Objekt die Gruppenaxiome erfuellt, und folgert dann daraus mit Hilfe von logischen Schlussfolgerungen, dass gewisse Aussagen gelten. Dann gelten diese Aussagen fuer jedes Objekt, welche die Gruppenaxiome erfuellt (wenn nicht noch weitere Voraussetzungen getroffen wurden, die weitere Einschraenkungen machen).
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:46 Do 31.01.2008 | | Autor: | kokiweb |
Hallo Felix,
vielen Dank für die detaillierte Antwort.
> Warum sollte das der Fall sein? Das hast du nicht gezeigt,
> das behauptest du einfach nur. Als Begruendung hattest du
> Aussagen hingeschrieben, die wahr sind, und dann einen
> Folgepfeil und die Behauptung, ohne irgendeine Begruendung
> zu liefern warum das daraus folgen sollte
Das, was ich gezeigt habe, sollte eine grobe Richtung dessen aufzeigen, wo ich gedanklich hin will. Meine langen Beweisversuche erspare ich Euch lieber, solange meine Behauptung nichtmal grob stimmt.
> Denn auf der linken Seite hast du Elemente aus [mm]G[/mm] stehen,
> die du Vereinigst, und das ergibt selten wieder [mm]G[/mm], selbst
> wenn [mm]G[/mm] eine Gruppe ist...
Dies hier ergibt für mich keinen Sinn. Textreste?
> Die Verknuepfung wird dadurch
> weder surjektiv, noch existeren Neutralelemente, noch ist
> die Verknuepfung assoziativ (im Allgemeinen, in Spezialfaellen klappt es schon).
oha... Danke für die Ernüchterung. Das war ein blöder Fehler... ja, man müsste hier den Spezialfall fordern, dass G kommutativ ist. Aber so schlimm war der Ansatz doch auch wieder nicht, oder?
Ich werde es allein nochmal mit [mm]\forall z \in G : \bigcup_{y \in G} \{ z \circ y \} \cap \bigcup_{y \in G} \{ y \circ z \} = G[/mm] probieren... Also ich möchte unbedingt versuchen, von einer derartigen Definition eine Äquivalenz-Brücke zu den Gruppenaxiomen zu schlagen... Dadurch erhoffe ich mir mehr Verständnis und eine Entwicklung der Axiome aus einer Definition.
LG, Sascha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 02.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Do 31.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
> Ich wollte zunächst die Struktur "Gruppe" näher
> kennenlernen und empfinde die Axiome darin als überflüssig.
> Generell empfinde ich "Axiome" in der Mathematik als
> fragwürdig.
grundsätzlich ist es eine gute Einstellung (insb. in der Mathematik) zunächst alles anzuzweifeln. Das wurde bereits von dem Philosophen und Mathematiker Descartes erkannt, er erklärte in Folge dessen zunächst alles für nichtig. Doch dabei stößt man auf ein Problem, wenn alles nichtig ist, was bin dann ich und warum mache ich mir darüber überhaupt Gedanken. Descartes löste dieses Misslage durch den bekannten Satz "Ich denke also bin ich". Warum schreibe ich das alles hier? Weil es genau dasselbe Prinzip ist, man muss irgendwo ansetzen, um logische Folerungen ziehen zu können. So kann man z.B. die Quaterionen aus den komplexen Zahlen, die komplexen aus den reellen Zahlen, die reellen aus den rationalen Zahlen, die rationalen aus den ganzen Zahlen entwickeln. Die ganzen Zahlen basieren auf den natürlichen Zahlen und diese müssen mit Hilfe von Axiomen (Peano-Axiome) fundiert werden. Man kann nicht beweisen, dass es natürliche Zahlen gibt, sondern man nimmt es an und umschreibt diese so gut als möglich mit Hilfe von evidenten Forderungen. Also basiert auch unser gesamtes Zahlensystem auf Axiomen.
Entsprechendes kann man nun auch auf die Algebra bzw. Gruppentheorie übertragen.
> Bei den Gruppenaxiomen spricht man ja nicht von
> Gruppendefinitionen, sondern von Axiomen. Hätte der
> Gruppenbegriff einen allgemein deklaratorischen Zweck, so
> bräuchte er vielleicht keine Axiome mehr.
Eine Definition kann (wenn sie sinnvoll ist) als Axiomensystem verstanden werden. Einen allg. Charakter als Gruppen kann man ohne weiteres herstellen, z.B. durch allg. algebraische Strukturen (sieh Meyberg) oder durch Kategorien, doch da beißt sich die Katze in den Schwanz. Auch diese müssen auf Axiomen bzw. einer Definition basieren.
> ...Eine Gruppe ist eine Menge und eine Komposition von
> dieser Menge in diese Menge, sodass jedes Element
> (identifiziert am Komponierungsverhalten) genau ein Mal
> existiert (gehen wir nicht alle im Hinterkopf davon aus?).
Nein, ich nicht, denn es wird in der Definition einer Gruppe nicht gefordert. Davon abgesehen, dass es auch Multimengen gibt, kann man durch die Axiome nur folgern, dass das neutrale Element eindeutig ist. Ein Element einer Menge muss gemäß Definition eindeutig bestimmbar sein, d.h. man muss entscheiden können, ob dieses in der Menge liegt oder nicht.
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Do 31.01.2008 | | Autor: | kokiweb |
Danke,
ich freue mich über die geschichtlichen Hintergründe...
Ich habe vor herauszufinden, ob sich die Axiome in eine Definition der Güte "Jedes Gruppenelement muss in jeder Zeile und Spalte der Verknüpfungstafel vorkommen" umformen lassen... Ich möchte also nicht versuchen, irgendwelche Schlüsse aus dem Nichts zu ziehen.
> Eine Definition kann (wenn sie sinnvoll ist) als
> Axiomensystem verstanden werden.
ok, interessant
Ich denke über alles gut nach und entschuldige mich für unangenehme Fragen mit eher philosophischem Charakter.
Sascha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 31.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
> ich freue mich über die geschichtlichen Hintergründe...
Bitte stets mit Vorsicht genießen, habe zwar für drei Semester Philo mitstudiert, das Studium doch eher als Hobby angesehen.
> Ich denke über alles gut nach und entschuldige mich für
> unangenehme Fragen mit eher philosophischem Charakter.
Wer fragt, ist Narr für fünf Minuten, wer nicht fragt, bleibt ein Narr für immer. (Sprichwort aus China)
LG
Alex
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