Gruppentheorie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 So 06.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe und sei n [mm] \ge [/mm] 1 mit ggT(n,ord(G))=1. Zeigen Sie, dass es zu jedem Element a [mm] \in [/mm] G ein eindeutig bestimmtes Element b [mm] \in [/mm] G gibt mit [mm] b^{n}=a. [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ich bei dieser Aufgabe ansetzen soll. Für Ideen bin ich dankbar!
Viele Grüße
teo
|
|
| |
|
moin teo,
Sagen dir der erweiterte Euklidische Algorithmus oder die Bezout-Identität etwas [mm] (http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_B%C3%A9zout [/mm] )?
Wenn ja dann betrachte mal $a = [mm] a^1$ [/mm] und schreibe dir die 1 im Exponenten unnötig kompliziert, dann erhälst du dein gesuchtes $b$.
Für die Eindeutigkeit nimm an, dass es zwei verschiedene $b$ gibt und zeig, dass sie dann gleich sein müssen.
Hierbei hilft dir der Satz von Lagrange (den du hoffentlich kennst^^).
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 06.05.2012 | | Autor: | teo |
> moin teo,
>
> Sagen dir der erweiterte Euklidische Algorithmus oder die
> Bezout-Identität etwas
> [mm](http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_B%C3%A9zout[/mm] )?
>
> Wenn ja dann betrachte mal [mm]a = a^1[/mm] und schreibe dir die 1
> im Exponenten unnötig kompliziert, dann erhälst du dein
> gesuchtes [mm]b[/mm].
Ok, den Trick sollte ich mir mal merken: Also nach dem Lemma von Bezout gibt es [mm] s,t \in \IZ [/mm] mit [mm] 1 = s*n + t*ord(G) [/mm]. Somit folgt:
[mm] a=a^{1}=a^{s*n+t*ord(G)}=a^{s}^{n}*a^{ord(G)}^{t}=a^{s}^{n}*e^{t}=a^{s}^{n} \Rightarrow b=a^{s} [/mm]
> Für die Eindeutigkeit nimm an, dass es zwei verschiedene
> [mm]b[/mm] gibt und zeig, dass sie dann gleich sein müssen.
> Hierbei hilft dir der Satz von Lagrange (den du
> hoffentlich kennst^^).
Hier weiß ich nicht wo ich den Satz von Lagrange brauche. Irgendwie bin ich hier zu doof den Eindeutigkeitsbeweis zu führen: Weil so ists ja sicher falsch: [mm] b' \neq b [/mm] mit [mm] b'^{n}=a \Rightarrow b'^{n}=a=b^{n} \Rightarrow b' = b. [/mm]??
>
> lg
>
> Schadow
Danke!
|
|
|
| |
|
> > Für die Eindeutigkeit nimm an, dass es zwei verschiedene
> > [mm]b[/mm] gibt und zeig, dass sie dann gleich sein müssen.
> > Hierbei hilft dir der Satz von Lagrange (den du
> > hoffentlich kennst^^).
>
> Hier weiß ich nicht wo ich den Satz von Lagrange brauche.
> Irgendwie bin ich hier zu doof den Eindeutigkeitsbeweis zu
> führen: Weil so ists ja sicher falsch: [mm]b' \neq b[/mm] mit
> [mm]b'^{n}=a \Rightarrow b'^{n}=a=b^{n} \Rightarrow b' = b. [/mm]??
Nehmen wir mal an, dass [mm] $b^n [/mm] = [mm] c^n$ [/mm] für irgendwelche $b,c$ aus der Gruppe.
Dies lässt sich umformen zu [mm] $b^n*c^{-n} [/mm] = e$ und noch weiter zu [mm] $(b*c^{-1})^n [/mm] = e$.
Wie kannst du nun mithilfe von Lagrange daraus folgern, dass $b=c$ gelten muss?
MfG
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 07.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Nehmen wir mal an, dass [mm]b^n = c^n[/mm] für irgendwelche [mm]b,c[/mm] aus
> der Gruppe.
> Dies lässt sich umformen zu [mm]b^n*c^{-n} = e[/mm] und noch
> weiter zu [mm](b*c^{-1})^n = e[/mm].
> Wie kannst du nun mithilfe von
> Lagrange daraus folgern, dass [mm]b=c[/mm] gelten muss?
Ja ok klar! Wegen [mm] ggT(n,ord(G))=1 [/mm] kann aus [mm] (bc^{-1})^{n}= e [/mm] nur folgen, dass [mm] bc^{-1}=e [/mm], also [mm]b=c [/mm].
Vielen Dank!
Grüße
|
|
|
|
