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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 24.08.2006 | | Autor: | Oliilli |
Hallo,
ich hab mal wieder ein paar Fragen zu den nächsten Kapiteln.
Faktorgruppe
Was stelle ich mir darunter vor?
[mm]\IZ n =\{rn,r\in\IZ\}[/mm]
Zyklische Gruppe
G=<g>
Heißt das, dass alle Elemente aus G durch g darstellbar sind? Im Prinzip wie eine Basis?
sollte man eigentlich wissen...
Was bedeutet [mm]\IZ/\IZ n[/mm][mm][/mm] nochmal?
freie Erzeuger
[mm]G \cong \IZ^r[/mm]
G ist eine endlich erzeugte freie kommutative Gruppe mit r freien Erzeugern
Wieso sind jetzt auf einmal Erzeuger frei, ich dachte Gruppen sind frei??
Was sind dann freie Erzeuger? Oder können auch Gruppen Erzeuger sein?
Torsionsgruppe, Annulator
Hat jemand eine kurze anschauliche Erklärung für die oben genannten Begriffe?
Ich hab leider immer große Probleme mir unter Definitionen auch etwas vorstellen zu können...
Vielen herzlichen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Do 24.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Oliilli!
> Faktorgruppe
> Was stelle ich mir darunter vor?
> [mm]\IZ n =\{rn,r\in\IZ\}[/mm]
Das ist keine Faktorgruppe, das ist eine Untergruppe. Eine Faktorgruppe waere z.B. [mm] $\IZ/(\IZ [/mm] n)$.
Die Faktorgruppe [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] entsteht aus [mm] $\IZ$, [/mm] indem man Elemente, deren Differenz in [mm] $n\IZ$ [/mm] enthalten ist, identifiziert. Hier, also bei [mm] $\IZ/n\IZ$, [/mm] identifiziert man also zwei Zahlen $a, b [mm] \in \IZ$, [/mm] wenn $a - b [mm] \in \IZ [/mm] n$ ist, also wenn $a - b$ durch $n$ teilbar ist. Ein Alltagsbeispiel ist etwa $n = 12$ oder $n = 24$: Dann sind das grad die Uhrzeiten. Wenn es 20 Uhr ist und du addierst 8 Stunden dazu, dann kommst du auf 28 Uhr, und das ist das gleiche wie 4 Uhr, da $28 - 4 = 24$ durch 24 geteilt wird.
> Zyklische Gruppe
> G=<g>
> Heißt das, dass alle Elemente aus G durch g darstellbar
> sind? Im Prinzip wie eine Basis?
Es heisst, das jedes Element ein Vielfaches von $g$ ist (oder eine Potenz von $g$, wenn man es multiplikativ schreibt und nicht additiv). Es kann aber sein, dass $n [mm] \cdot [/mm] g = m [mm] \cdot [/mm] g$ ist fuer $n [mm] \neq [/mm] m$, $n, m [mm] \in \IZ$. [/mm] Der Erzeuger muss also nicht frei (s.u.). sein
> sollte man eigentlich wissen...
> Was bedeutet [mm]\IZ/\IZ n[/mm][mm][/mm] nochmal?
Siehe ganz oben.
> freie Erzeuger
> [mm]G \cong \IZ^r[/mm]
> G ist eine endlich erzeugte freie
> kommutative Gruppe mit r freien Erzeugern
>
> Wieso sind jetzt auf einmal Erzeuger frei, ich dachte
> Gruppen sind frei??
Beides kann frei sein. Man sagt, das ein Satz von Erzeugern [mm] $g_1, \dots, g_n$ [/mm] frei sind, wenn alle Linearkombinationen [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i g_i [/mm] = 0$ mit [mm] $\lambda_i \in \IZ$ [/mm] bereits [mm] $\lambda_i [/mm] = 0$ fuer alle $i$ implizieren. (Ist also genauso wie bei linearer Unabhaengigkeit in Vektorraeumen.)
> Was sind dann freie Erzeuger? Oder können auch Gruppen
> Erzeuger sein?
Gruppen erzeugen sich selbst.
> Torsionsgruppe, Annulator
> Hat jemand eine kurze anschauliche Erklärung für die oben
> genannten Begriffe?
Torsionsgruppen sind Gruppen, die moeglichst unfrei sind: Jedes Element hat endliche Ordnung, d.h. zu jedem $g [mm] \in [/mm] G$ gibt es ein $n > 0$ mit $n [mm] \cdot [/mm] g = 0$. Jede endliche Gruppe ist eine Torsionsgruppe, es gibt aber auch unendliche Torsionsgruppen.
Wenn du einen $R$-Modul (z.B. sind [mm] $\IZ$-Moduln [/mm] gerade die abelsche Gruppen, falls dir der Begriff $R$-Modul nichts sagt) $M$ hast, dann ist der Annulator von $M$ gerade die Menge aller Elemente $r [mm] \in [/mm] R$, so $r m = 0$ ist fuer jedes $m [mm] \in [/mm] M$, das also $r M = 0$ gilt.
Bei abelschen Gruppen (also $R = [mm] \IZ$) [/mm] ist der Annulator eine Untergruppe von [mm] $\IZ$, [/mm] wird also von einer Zahl $a [mm] \ge [/mm] 0$ erzeugt. Diese Zahl wird auch der Exponent der Gruppe genannt (vielleicht hast du den Begriff schonmal gehoert). Sie ist die kleinste Zahl $> 0$ (oder $0$ falls es keine solche gibt), die die Eigenschaft [mm] $\forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G : a g = 0$ erfuellt.
Hoffentlich hilft dir das ein wenig weiter. Bei vielen von diesen Definitionen kann man sich glaube ich nicht viel darunter vorstellen. Je laenger man damit zu tun hat, desto mehr gewoehnt man sich an sie und desto unbeschwerter hantiert man mit ihnen rum...
LG Felix
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