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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 22.10.2006 | | Autor: | hateclub |
| Aufgabe | Es ist [mm] \bruch{1}{2}*(a+b) [/mm] das arithmetische und [mm] \wurzel{a*b} [/mm] das geometrische Mittel der Zahlen a und b. Begründen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichung:
[mm] \bruch{1}{2}*(a+b)\ge\wurzel{a*b} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Wie begründet man hier die Gültigkeit?
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> Es ist [mm]\bruch{1}{2}*(a+b)[/mm] das arithmetische und
> [mm]\wurzel{a*b}[/mm] das geometrische Mittel der Zahlen a und b.
> Begründen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichung:
> [mm]\bruch{1}{2}*(a+b)\ge\wurzel{a*b}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist sicher vorausgesetzt, daß a,b [mm] \ge [/mm] 0. Sonst gilt die Behauptung nämlich nicht.
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt ja [mm] x^2 \ge [/mm] 0.
Also ist 0 [mm] \le (a-b)^2=...
[/mm]
==> ... [mm] \le (a+b)^2 [/mm]
==> ...
Klappt's jetzt?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 So 22.10.2006 | | Autor: | hateclub |
danke :) sowas ähnliches hab ich mir gedacht aber dass es so einfach is konnte ich nicht glauben :P
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 28.10.2006 | | Autor: | SpeGo |
Hallo,
ich bin Studentin im 1. Semester (also noch ganz frisch :) ) und muss exakt dieselbe Ungleichung lösen. Mir hat der Lösungsansatz leider nicht gereicht um die Aufgabe zu lösen, könnte mir jemand den Lösungsweg noch ausführlicher erklären?
Vielen Dank, SpeGo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SpeGo,
!
Quadriere diese Ungleichung $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(a+b)\ge\wurzel{a\cdot{}b} [/mm] $ [mm] $\gdw$ $(a+b)\ge2*\wurzel{a\cdot{}b} [/mm] $ und bringe anschließend alles auf eine Seite (am besten die linke).
Mit dem Hinweis [mm] $z^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ [mm] \forall z\in\IR$ [/mm] sollte dann alles klar sein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mi 28.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Auch meine Hochschule hat mir dieselbe Aufgabe gegeben. Wenn ich beide Seiten nun quadriere, das Binom auflöse, (...) komme ich auf
[mm] a^{2}-2ab+b^{2} \ge [/mm] 0
Was bringt mir das nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 28.10.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo sae!
> [mm]a^{2}-2ab+b^{2} \ge[/mm] 0
> Was bringt mir das nun?
Sieh mal scharf hin ... ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") ... dann solltest Du erkennen, dass sich hier eine binomische Formel anwenden lässt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 28.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
[mm] (a-b)^{2} \ge [/mm] 0
a-b [mm] \ge [/mm] 0
und nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 28.10.2015 | | Autor: | abakus |
(a-b)² ist auch dann größer oder gleich 0,
wenn a-b negativ ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Do 29.10.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo sae!
> [mm](a-b)^{2} \ge[/mm] 0
> a-b [mm]\ge[/mm] 0
Von Zeile 1 zu Zeile 2 ist keine Äquivlanzumformung bzw. ist das falsch.
Korrekt muss dort stehen:
[mm] $\red{|} [/mm] \ a-b \ [mm] \red{|} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Und das ist dann auch eine wahre Aussage ... was es zu zeigen galt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Sa 28.10.2006 | | Autor: | SpeGo |
vielen dank loddar, habe die aufgabe jetzt auch lösen können.
lg SpeGo
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