Gültigkeit einer Gleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Di 16.10.2012 | | Autor: | Jane_P |
| Aufgabe | Betrachten Sie für jede natürliche Zahl n die Zahl
a(n):= 1/0! + 1/1! + ... + 1/n!.
Zeigen Sie, dass a(n)<3 für alle natürlichen Zahlen n e IN.
Hinweis: Beachten Sie, dass n!>2^(n-1) für 3≤n. |
Ich weiß (oder glaube zu wissen), dass man eine vollständige Induktion durchführt, wenn man etwas für natürliche Zahlen beweisen will.
Allerdings verwirrt mich, dass in der Gleichung durch 0 geteilt wird. Und ich bin mir nicht sicher, was das Ausrufezeichen bedeutet.
Normalerweise würde ich n=0 setzen und dann n+1 einsetzen. Ich weiß aber nicht, wie ich eine Ungleichung beweisen kann, bisher habe ich immer nur Gleichungen bewiesen.
Es würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie für jede natürliche Zahl n die Zahl
> a(n):= 1/0! + 1/1! + ... + 1/n!.
> Zeigen Sie, dass a(n)<3 für alle natürlichen Zahlen n e
> IN.
>
> Hinweis: Beachten Sie, dass n!>2^(n-1) für 3≤n.
> Ich weiß (oder glaube zu wissen), dass man eine
> vollständige Induktion durchführt, wenn man etwas für
> natürliche Zahlen beweisen will.
>
> Allerdings verwirrt mich, dass in der Gleichung durch 0
> geteilt wird. Und ich bin mir nicht sicher, was das
> Ausrufezeichen bedeutet.
Für n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1, ist $n!:=1*2*...*n$ und 0!:=1
Es wird also nirgends durch 0 geteilt.
>
> Normalerweise würde ich n=0 setzen und dann n+1 einsetzen.
> Ich weiß aber nicht, wie ich eine Ungleichung beweisen
> kann, bisher habe ich immer nur Gleichungen bewiesen.
Mit Induktion sollst Du das nicht machen, sondern den Hinweis verwenden.
Es ist n! > [mm] 2^{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3, also
[mm] \bruch{1}{n!}<\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] für für n [mm] \ge [/mm] 3.
Nun wende das mal auf der rechten Seite von
a(n):= 1/0! + 1/1! + ... + 1/n!
an.
FRED
>
> Es würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Jane_P |
Muss ich eine beliebige Zahl für n wählen?
Und wo soll ich die [mm] 2^n-1 [/mm] einsetzen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Muss ich eine beliebige Zahl für n wählen?
Jo, für $n=0,1,2$ kannst du das direkt zeigen, für $n\ge 3$ schreibe
$\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\sum\limits_{k=3}^n{\frac{1}{k!}$
$=1+1+1/2+\sum\limits_{k=3}^n{\frac{1}{k!}$
Nun den Hinweis auf die Summe anwenden, dann Indexverschiebung so, dass die Summe wieder bei $k=0$ startet, dann die Formel für die endl. geometr. Reihe (geometr. Summenformel) nutzen und vereinfachen ...
>
> Und wo soll ich die [mm]2^n-1[/mm] einsetzen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Jane_P |
Vielen Dank, ihr beiden!
Das hat mir echt sehr geholfen :)
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