Gültigkeit von Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Sa 02.02.2013 | | Autor: | baxbear |
Ich habe folgende Aufgabe:
[mm] $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] genüge der Gleichung [mm] $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$. [/mm] Zeigen Sie der Reihe nach:
a) $f(0)=0$
b) $f(-x)=-f(x)$
c) [mm] $f(r\cdot x)=r\cdot [/mm] f(x)$
.
.
.
joar eigentlich sind die Aussagen ja falsch, da
f(0)=0 für f(x)=3 eine falsche Aussage ist und f(-x)=-f(x) ebenfalls
Was genau muss ich hier tun wie muss ich vorgehen? Kann mir vielleicht jemand an einer Beispielaufgabe und an 2en verdeutlichen was zu tun ist?
Danke schonmal
Die Frage habe ich auch in diesem Forum gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Gueltigkeit-von-Aussagen-ueber-Funktionen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Sa 02.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich habe folgende Aufgabe:
> [mm]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/mm] genüge der Gleichung
> [mm]f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}[/mm]. Zeigen Sie der
> Reihe nach:
> a) [mm]f(0)=0[/mm]
> b) [mm]f(-x)=-f(x)[/mm]
> c) [mm]f(r\cdotx)=r\cdot f(x)[/mm]
> .
> .
> .
> joar eigentlich sind die Aussagen ja falsch, da
> f(0)=0 für f(x)=3 eine falsche Aussage ist und
> f(-x)=-f(x) ebenfalls
Hallo?
Wenn man in der gegebenen Gleichung [mm]f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}[/mm]
für y den Wert 0 wählt, erhält man [mm]f(x+0)=f(x)+f(0)[/mm], also
[mm]f(x)=f(x)+f(0)[/mm].
Daraus folgt aber hundertprozentig f(0)=0.
In der nächsten Teilaufgabe empfehle ich, f(-x) zunächst etwas umständlicher als f(0-x) zu schreiben...
Gruß Abakus
> Was genau muss ich hier tun wie muss ich vorgehen? Kann
> mir vielleicht jemand an einer Beispielaufgabe und an 2en
> verdeutlichen was zu tun ist?
>
> Danke schonmal
>
> Die Frage habe ich auch in diesem Forum gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Gueltigkeit-von-Aussagen-ueber-Funktionen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 03.02.2013 | | Autor: | baxbear |
k jetzt blick ich was gemeint ist^^
So im verlinkten Thread habe ich nun zusätzlich auch eine Antwort bekommen und dort wird das Beispiel $f(-x)=-f(x)$ erläutert welches ich dort wunderbar verstehe.
Ich begreife allerdings nicht, wie ich aus $f(-x)=f(0+(-x))=f(0)+f(-x)$ schlußfolgern soll, dass $f(-x)=-f(x)$ ist. Ich würde diesen Schritt allerdings gerne erklärt bekommen. Bei dem anderen Beispiel geht aus $f(x-x)=0$ und $f(0)=0$ hervor, dass auch $f(x)+f(-x)=0$ sein muss weil $f(x)-f(x)=0$ ist.(etwas konfus beschrieben)
Ich denke, wenn ich verstehe wie man aus $f(0+(-x))$ darauf kommt, kann ich daraus schlussfolgern, wie man $f(x-y)=f(x)-f(y)$
Der Anfang ist ja hier wieder klar: $f(x-y)=f(x)+f(-y)$ und jetzt muss ich halt wieder von $f(-y)$ auf $-f(y)$ kommen.
Anders vorgehen muss ich vermutlich bei den Produkten:
[mm] $f(\frac{1}{q}\cdot x)=\frac{1}{q}\cdot [/mm] f(x), [mm] q\in\mathbb{N}$
[/mm]
[mm] $f(r\cdot x)=r\cdot [/mm] f(x), [mm] r\in\mathbb{Q}$
[/mm]
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Hallo baxbear,
> k jetzt blick ich was gemeint ist^^
>
> So im verlinkten Thread habe ich nun zusätzlich auch eine
> Antwort bekommen und dort wird das Beispiel [mm]f(-x)=-f(x)[/mm]
> erläutert welches ich dort wunderbar verstehe.
> Ich begreife allerdings nicht, wie ich aus
> [mm]f(-x)=f(0+(-x))=f(0)+f(-x)[/mm] schlußfolgern soll, dass
> [mm]f(-x)=-f(x)[/mm] ist. Ich würde diesen Schritt allerdings gerne
> erklärt bekommen.
Ich auch! Das ist m.E. nicht besonders zielführend.
Der andere Ansatz ist doch klar und eindeutig und schön 
> Bei dem anderen Beispiel geht aus
> [mm]f(x-x)=0[/mm] und [mm]f(0)=0[/mm] hervor, dass auch [mm]f(x)+f(-x)=0[/mm] sein
> muss weil [mm]f(x)-f(x)=0[/mm] ist.(etwas konfus beschrieben)
Genau!
> Ich denke, wenn ich verstehe wie man aus [mm]f(0+(-x))[/mm] darauf
> kommt, kann ich daraus schlussfolgern, wie man
> [mm]f(x-y)=f(x)-f(y)[/mm]
> Der Anfang ist ja hier wieder klar: [mm]f(x-y)=f(x)+f(-y)[/mm] und
> jetzt muss ich halt wieder von [mm]f(-y)[/mm] auf [mm]-f(y)[/mm] kommen.
Das sollte abakus uns verraten ...
> Anders vorgehen muss ich vermutlich bei den Produkten:
> [mm]f(\frac{1}{q}\cdot x)=\frac{1}{q}\cdot f(x), q\in\mathbb{N}[/mm]
>
> [mm]f(r\cdot x)=r\cdot f(x), r\in\mathbb{Q}[/mm]
Jo, schreibe im ersten Fall mal [mm]f(x)=f\left(q\cdot{}\frac{x}{q}\right)[/mm]
Im zweiten analog [mm]r=m/n[/mm] und [mm]f(r\cdot x)=f\left(\frac{m}{n}\cdot{}x\right)=...[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 03.02.2013 | | Autor: | baxbear |
also ich hab dies jetzt mal umgeformt:
[mm] $f(x)=f(q\cdot\frac{x}{q})=f((q-1)\cdot\frac{x}{q}+\frac{x}{q})=f((q-1)\cdot\frac{x}{q})+f(\frac{x}{q})=f(q\cdot\frac{x}{q}-\frac{x}{q})+f(\frac{x}{q})=f(x)+f(-\frac{x}{q})+f(\frac{x}{q})$
[/mm]
aber hiermit könnte ich nur wieder b) beweisen wie mach ich hier einen Beweis für d) draus?
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Hallo nochmal,
> also ich hab dies jetzt mal umgeformt:
>
> [mm]f(x)=f(q\cdot\frac{x}{q})=f((q-1)\cdot\frac{x}{q}+\frac{x}{q})=f((q-1)\cdot\frac{x}{q})+f(\frac{x}{q})=f(q\cdot\frac{x}{q}-\frac{x}{q})+f(\frac{x}{q})=f(x)+f(-\frac{x}{q})+f(\frac{x}{q})[/mm]
Das gibt [mm]f(x)=f(x)[/mm], also keinen großen Erkenntnisgewinn
> aber hiermit könnte ich nur wieder b) beweisen wie mach
> ich hier einen Beweis für d) draus?
Mache dir klar, dass für alle [mm]n\in\IN[/mm]und alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt: [mm]f(nx)=nf(x)[/mm] (Induktion)
Mit [mm]f(-x)=-f(x)[/mm] gilt das sogar für alle [mm]n\in\IZ[/mm]
Dann ist für [mm]q\in\IN[/mm]: [mm]f(x)=f\left(q\cdot{}\frac{x}{q}\right)=q\cdot{}f\left(\frac{1}{q}\cdot{}x\right)[/mm]
Also [mm]f\left(\frac{1}{q}\cdot{}x\right)=\frac{1}{q}\cdot{}f(x)[/mm]
Für den letzten Beweis setze [mm]r=\frac{m}{n}[/mm] mit [mm]m\in\IZ, n\in\IN[/mm] und schaue dir
[mm]f(rx)=f\left(\frac{m}{n}\cdot{}x\right)=f\left(m\cdot{}\frac{x}{n}\right)[/mm] an ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 03.02.2013 | | Autor: | baxbear |
Also kann ich praktisch aus dem Beweis [mm] $f(-1\cdot x)=-1\cdot [/mm] f(x)$ schlussfolgern und einfach sagen, dann gilt auch [mm] $f(x)=f(q\cdot\frac{x}{q})=q\cdot f(\frac{x}{q})$ [/mm] ? Wenn dem so ist? Warum dann überhaupt die Variante mit der Multiplizierten 1? Kann man dann nicht direkt aus [mm] $f(-1\cdot x)=-1\cdot [/mm] f(x)$ schlussfolgern, dass [mm] $f(\frac{x}{q})=\frac{1}{q}\cdot [/mm] f(x)$ dies gilt? Oder muss noch irgendetwas gezeigt werden, was ich übersehen habe?
So und bei e) muss ich ja einfach nur den Beweis von d) wie eine Schablone drauflegen:
[mm] $f(r\cdot x)=r\cdot [/mm] f(x)$
[mm] $r=\frac{m}{n},m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f(r\cdot x)=f(\frac{m}{n}\cdot x)=f(m\cdot\frac{x}{n})=m\cdot f(\frac{x}{n})=m\cdot f(\frac{1}{n}\cdot x)=\frac{m}{n}\cdot f(x)=r\cdot [/mm] f(x)$
So dies dürfte wenn ich es richtig verstanden habe schon der ganze Beweis sein!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 So 03.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Also kann ich praktisch aus dem Beweis [mm]f(-1\cdot x)=-1\cdot f(x)[/mm]
> schlussfolgern und einfach sagen, dann gilt auch
> [mm]f(x)=f(q\cdot\frac{x}{q})=q\cdot f(\frac{x}{q})[/mm] ? Wenn dem
> so ist? Warum dann überhaupt die Variante mit der
> Multiplizierten 1? Kann man dann nicht direkt aus [mm]f(-1\cdot x)=-1\cdot f(x)[/mm]
> schlussfolgern, dass [mm]f(\frac{x}{q})=\frac{1}{q}\cdot f(x)[/mm]
> dies gilt? Oder muss noch irgendetwas gezeigt werden, was
> ich übersehen habe?
>
> So und bei e) muss ich ja einfach nur den Beweis von d) wie
> eine Schablone drauflegen:
> [mm]f(r\cdot x)=r\cdot f(x)[/mm]
>
> [mm]$r=\frac{m}{n},m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(r\cdot x)=f(\frac{m}{n}\cdot x)=f(m\cdot\frac{x}{n})=m\cdot f(\frac{x}{n})=m\cdot f(\frac{1}{n}\cdot x)=\frac{m}{n}\cdot f(x)=r\cdot f(x)[/mm]
>
> So dies dürfte wenn ich es richtig verstanden habe schon
> der ganze Beweis sein!?
Hallo,
das kann nicht der ganze Beweis sein. Es soll für alle reellen r (nicht nur für rationale r) bewiesen werden.
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:55 So 03.02.2013 | | Autor: | baxbear |
Doch für alle rationalen [mm] $r\in\mathbb{Q}$
[/mm]
Würde es dann stimmen?
Und kann ich praktisch den ganzen beweis für d) mit [mm] q\in\mathbb{N} [/mm] einfach aus dem Beweis von b) schließen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 05.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hiho,
> joar eigentlich sind die Aussagen ja falsch, da f(0)=0 für f(x)=3 eine falsche Aussage ist und f(-x)=-f(x) ebenfalls
die Aussagen stimmen, wurde ja schon erwähnt.
Wo liegt nun der Fehler?
Richtig, bei dir!
Deine Beispielfunktion erfüllt einfach nicht die Vorbedingungen. Welche?
MFG,
Gono.
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