Gütefunktion < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Di 05.06.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Man hat hier wieder das Produktmaß der NV [mm] N(\theta, \sigma^2) [/mm] und bekannte Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] >0.
Als Test zum Niveau [mm] \alpha [/mm] > 0 für [mm] H_0: \theta \leq \theta_0, \theta [/mm] > [mm] \theta_0 [/mm] für gegebenes [mm] \theta [/mm] verwendet man
[mm] \psi [/mm] * = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} T(X) > z_{1- \alpha} \\ 0, & \mbox{falls} T(x) \leq z_{1- \alpha} \end{cases}.
[/mm]
wobei T(x) := [mm] \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}} [/mm] ( [mm] \sum_{k=1}^n x_k [/mm] - n [mm] \theta_0).
[/mm]
Als Test zum Niveau [mm] \alpha [/mm] für [mm] H_0: \theta [/mm] = [mm] \theta_0, H_1: \theta \not= \theta_0
[/mm]
für gegebenes [mm] \theta_0 [/mm] verwendet man
[mm] \phi [/mm] * = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} |T(x)| > Z_{1- \frac{\alpha}{2}} \\ 0, & \mbox{falls} |T(x)| \leq z_{1- \frac{\alpha}{2}}\end{cases}.
[/mm]
(a) Bestimme mittels des zentralen Grenzwertsatzes den ungefähren wert der Gütefunktion [mm] \theta [/mm] -> [mm] G_{\psi}(\theta) [/mm] und [mm] \theta [/mm] -> [mm] G_{\phi}(\theta).
[/mm]
(b) Skizziere für die numerischen Werte
[mm] \theta=10, \sigma^2=4, [/mm] n=16, [mm] \alpha [/mm] =0.1
die beiden Gütefunktionen aus (a). |
Hallo,
ich hab noch eine Statistik-Aufgabe mit der ich nicht weiterkomm.
Ich hab jetzt mal so angefangen das ganze umzuformen, da ich ja statt dem [mm] \theta_0 [/mm] das [mm] \theta [/mm] brauch:
[mm] G_{\psi}(\theta) [/mm] = [mm] P_{\theta}(T>c) [/mm] = [mm] P_{\theta} [/mm] ( [mm] \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}} [/mm] ( [mm] \sum_{k=1}^n x_k [/mm] - n [mm] \theta_0)> [/mm] c)
= [mm] P_(\theta) [/mm] ( [mm] \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}} (\sum x_k [/mm] - n [mm] \theta) [/mm] > c + [mm] \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}} [/mm] n [mm] \theta [/mm] - n [mm] \theta \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}}) [/mm]
= 1 - [mm] \Phi [/mm] ( c + [mm] \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}} [/mm] n [mm] \theta [/mm] - n [mm] \theta \frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}})
[/mm]
bin ich so auf dem richtigen weg...? irgendwie wird das nur komplizierter...
bin über alle Tipps sehr dankbar!!
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> bin ich so auf dem richtigen weg...? irgendwie wird das nur
> komplizierter...
Da ist der Wurm drin. In deiner Formel fehlt das [mm] $\theta_0$. [/mm] Aber dein Ansatz sieht richtig aus.
lg
Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 05.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Luis,
hast recht hab das [mm] \theta_0 [/mm] vergessen:
[mm] G_{\psi}(\theta)= P_{\theta}(T>c) [/mm] = [mm] P_{\theta}( (\frac{1}{\sqrt{n \sigma^2}}( \sum_{k=1}^n x_k [/mm] - n [mm] \theta_0)> [/mm] c)
= [mm] P_{\theta} (\frac{1}{\sqrt{...}} [/mm] ( [mm] \sum x_k [/mm] - n [mm] \theta) [/mm] > c + [mm] \frac{1}{\sqrt{...}} [/mm] n [mm] \theta_0 [/mm] - [mm] \frac{1}{\sqrt{...}} [/mm] n [mm] \theta)
[/mm]
= 1 - [mm] \Phi( [/mm] c + [mm] \frac{1}{\sqrt{...}} [/mm] n [mm] \theta_0 [/mm] - n [mm] \theta \frac{1}{\sqrt{...}})
[/mm]
nur hab ich ja gar keine werte gegeben in Teil (a)... wie komm ich damit weiter??
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Riley,
bei a) ist nur eine Formel verlangt.
Zwei Anmerkungen:
- Bei a) fehlt dir noch die zweite Guetefunktion...
- Mich irritiert, dass die Herleitung ueber der
Zentralen Grenzwertsatz erfolgen soll. Du entwickelst
die Formel ja auch direkt, was meines Erachtens nach
den Voraussetzungen okay ist.
lg
Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Riley |
Morgen Luis,
dann meinst du ich kann die Formel so stehen lassen in (a) ?
hm ja, für die 2.Gütefunktion ist mir das noch nicht klar, was ich da anderes machen muss, weil das ist doch das gleiche T(x) ?
[mm] G_{\phi}(\theta) [/mm] = [mm] E_{\theta}(\phi) [/mm] = [mm] P_{\theta}(T>c) [/mm] ...?
hab bei der (b) für die erste Gütefunktion mal die Werte eingesetzt:
[mm] G(\theta) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(0.9 [/mm] + [mm] \frac{1}{\sqrt{16*4}} [/mm] 16 *10 - 16 [mm] \frac{1}{\sqrt{16*4}} \theta)
[/mm]
= 1 - [mm] \Phi(20.9-2 \theta)
[/mm]
und jetzt muss ich einfach mal ein paar werte für [mm] \theta [/mm] einsetzen und das irgendwie skizzieren, oder?
Viele grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mi 06.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> Morgen Luis,
>
> dann meinst du ich kann die Formel so stehen lassen in (a)
> ?
Ja. Aber Dein $c$ ist nicht 0.9 sondern [mm] $z_{0.9}=1.282$...
[/mm]
>
> hm ja, für die 2.Gütefunktion ist mir das noch nicht klar,
> was ich da anderes machen muss, weil das ist doch das
> gleiche T(x) ?
> [mm]G_{\phi}(\theta)[/mm] = [mm]E_{\theta}(\phi)[/mm] = [mm]P_{\theta}(T>c)[/mm]
> ...?
Ansatz zur Ermittlung der zweiten Guetefunktion:
[mm] $G(\theta)=P_\theta(Tz_{1-\alpha/2})$ [/mm]
>
> hab bei der (b) für die erste Gütefunktion mal die Werte
> eingesetzt:
> [mm]G(\theta)[/mm] = 1 - [mm]\Phi(0.9[/mm] + [mm]\frac{1}{\sqrt{16*4}}[/mm] 16 *10 -
> 16 [mm]\frac{1}{\sqrt{16*4}} \theta)[/mm]
> = 1 - [mm]\Phi(20.9-2 \theta)[/mm]
>
> und jetzt muss ich einfach mal ein paar werte für [mm]\theta[/mm]
> einsetzen und das irgendwie skizzieren, oder?
Ja.
lg
Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Luis,
ganz vielen Dank für deine Hilfe und Korrektur. Werd im Zug weiterrechnen...
aber kannst du mir noch verraten wie du auf diesen Ansatz für die zweite Gütefunktion kommst?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Mi 06.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Riley,
beim zweiten Test lautet die Entscheidungsregel:
Verwirf die Nullhypothese, wenn gilt $|T(x)| > [mm] z_{1-\alpha/2}$
[/mm]
Dieses Kriterium kann man umschreiben zu [mm] $T(x)-z_{1-\alpha/2}$.
[/mm]
lg
Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Luis,
danke vielmals ! Hab an den Betrag gar nicht mehr gedacht.
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
|
