HI-Ring,Quotientenk.,Teilring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
Hallo!
Und noch eine Frage...
Sei R ein Hauptidealbereich, K ein Quotientenkörper von R, S ein Teilring von K mit R [mm] \le [/mm] S [mm] \le [/mm] K.
Beh.:
a) [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S [mm] \exists [/mm] a,b [mm] \in [/mm] R: [mm] s=ab^{-1} \wedge b^{-1} \in [/mm] S.
b) S ist ein Hauptidealbereich.
Hmmm... vorweg eine Frage... ich gehe einmal davon aus, dass b doch wohl aus R* kommen muss oder??? Gäbe sonst meiner Meinung nach wenig Sinn.
Das war allerdings auch alles, was ich so aus dieser Aufgabe wirklich tiefgründig durchleuchten konnte :(
zu a) hmm... na ja, dass a und b in R existieren ist trivial (immerhin ist s insbes. [mm] \in [/mm] K und somit ex ab in R mit [mm] a*b^{-1}=s, [/mm] aber warum gibt es so ein a, dass das b dann in S liegt??? Und müssen wenn dann nicht gleich beide in S sein [mm] (s=ab^{-1} \rightarrow [/mm] sb=ae und da S doch wohl multiplikativ abgeschlossen ist, müsste daraus folgen, dass auch sb, also auch a in S liegt, oder????)
Falls mir jemand den nötigen Durchblick liefern kann, wäre ich sehr dankbar,
Gruß,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Di 13.12.2005 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Hallo!
> Und noch eine Frage...
> Sei R ein Hauptidealbereich, K ein Quotientenkörper von R,
> S ein Teilring von K mit R [mm]\le[/mm] S [mm]\le[/mm] K.
> Beh.:
> a) [mm]\forall[/mm] s [mm]\in[/mm] S [mm]\exists[/mm] a,b [mm]\in[/mm] R: [mm]s=ab^{-1} \wedge b^{-1} \in[/mm]
> S.
> b) S ist ein Hauptidealbereich.
>
> Hmmm... vorweg eine Frage... ich gehe einmal davon aus,
> dass b doch wohl aus R* kommen muss oder??? Gäbe sonst
> meiner Meinung nach wenig Sinn.
Wenn $R^* := R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ist, ja (und nicht, wie sonst auch ueblich, die Menge der Einheiten in $R$). Aber da steht ja auch nur: es gibt ein b in R so, dass [mm] b^{-1} [/mm] in S ist. Also muss b insbesondere ungleich 0 sein 
> Das war allerdings auch alles, was ich so aus dieser
> Aufgabe wirklich tiefgründig durchleuchten konnte :(
> zu a) hmm... na ja, dass a und b in R existieren ist
> trivial (immerhin ist s insbes. [mm]\in[/mm] K und somit ex ab in R
> mit [mm]a*b^{-1}=s,[/mm] aber warum gibt es so ein a, dass das b
> dann in S liegt??? Und müssen wenn dann nicht gleich beide
> in S sein [mm](s=ab^{-1} \rightarrow[/mm] sb=ae und da S doch wohl
> multiplikativ abgeschlossen ist, müsste daraus folgen, dass
> auch sb, also auch a in S liegt, oder????)
> Falls mir jemand den nötigen Durchblick liefern kann, wäre
> ich sehr dankbar,
Also: Da R ein Hauptidealbereich ist, kannst du $s = [mm] \frac{a}{b}$ [/mm] schreiben mit $a, b [mm] \in [/mm] R$ teilerfremd. Nun ist $1 = [mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b$ fuer passende [mm] $\lambda, \mu \in [/mm] R$ (das folgt aus $(a) + (b) = R$, da die beiden teilerfremd sind). Und jetzt teil mal die Gleichung durch $b$...
Zu Teil b): Wenn du ein Ideal [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] in S hast, schneide es doch mal mit R. Das ist dann wieder ein Ideal (warum?) und somit ein Hauptideal, etwa [mm] $\mathfrak{a} \cap [/mm] R = [mm] (a)_R$ [/mm] fuer ein $a [mm] \in [/mm] R$. Jetzt versuch doch mal, [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = [mm] (a)_S$ [/mm] zu zeigen. (Der Index an dem 'Ideal erzeugt von' soll angeben, in welchem Ring das Ideal erzeugt wird.)
HTH & LG, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 13.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei R ein Hauptidealbereich, K ein Quotientenkörper von R,
S ein Teilring von K mit R [mm] \le [/mm] S [mm] \le [/mm] K.
Beh.:
a) [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S [mm] \exists [/mm] a,b [mm] \in [/mm] R: [mm] s=ab^{-1} \wedge b^{-1} \in [/mm] S.
b) S ist ein Hauptidealbereich.
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Erst einmal: Vielen Dank, das hat mir soweit schon ganz gut weitergeholfen.
zu a)
Dass [mm] s=ab^{-1} [/mm] für a,b [mm] \in [/mm] R ist klar und wie die Sache dann weitergeht ebenfalls. Also ist a) fast schon gekärt;)
Eine Frage hätt ich allerdings noch: Warum gilt (a)+(b)=R??? Das kann ich nicht ganz nachvollziehen, bin mir allerdings auch nicht unbedingt sicher, dass das so gefordert werden muss. Reicht nicht zu sagen, dass (a)+(b)=I wieder ein Ideal ist und somit [mm] 1\in [/mm] I???
Zu b)
> Wenn du ein Ideal [mm]\mathfrak{a}[/mm] in S hast,
> schneide es doch mal mit R. Das ist dann wieder ein Ideal
> (warum?)
ist klar, einfach nachzurechnen, also finde ich ein a [mm] \in [/mm] R mit [mm] \mathfrak{a} \cap [/mm] R = [mm] (a)_R.
[/mm]
... aber:
> Jetzt versuch doch mal, [mm]\mathfrak{a} = (a)_S[/mm]
> zu zeigen.
.... Hier komme ich schon wieder nicht weiter... Hoffe, du hast nichts dagegen, noch einmal zu helfen...
Gruß,
San
> HTH & LG, Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Do 15.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Sei R ein Hauptidealbereich, K ein Quotientenkörper von R,
> S ein Teilring von K mit R [mm]\le[/mm] S [mm]\le[/mm] K.
> Beh.:
> a) [mm]\forall[/mm] s [mm]\in[/mm] S [mm]\exists[/mm] a,b [mm]\in[/mm] R: [mm]s=ab^{-1} \wedge b^{-1} \in[/mm]
> S.
> b) S ist ein Hauptidealbereich.
>
> Erst einmal: Vielen Dank, das hat mir soweit schon ganz gut
> weitergeholfen.
Gern geschehn :)
> zu a)
> Dass [mm]s=ab^{-1}[/mm] für a,b [mm]\in[/mm] R ist klar und wie die Sache
> dann weitergeht ebenfalls. Also ist a) fast schon gekärt;)
> Eine Frage hätt ich allerdings noch: Warum gilt
> (a)+(b)=R??? Das kann ich nicht ganz nachvollziehen, bin
Schreib (a) + (b) = (c) fuer ein c aus R (geht ja, da R ein Hauptidealbereich ist). Jetzt muss c ein Teiler von a und b sein, also auch von deren groessten gemeinsamen Teiler. Der ist aber eine Einheit (da teilerfremd), also muss c auch eine Einheit sein und somit ist (c) = R.
> mir allerdings auch nicht unbedingt sicher, dass das so
> gefordert werden muss. Reicht nicht zu sagen, dass
> (a)+(b)=I wieder ein Ideal ist und somit [mm]1\in[/mm] I???
Ein Ideal, was die 1 enthaelt, ist schon ganz R.
> Zu b)
>
> > Wenn du ein Ideal [mm]\mathfrak{a}[/mm] in S hast,
> > schneide es doch mal mit R. Das ist dann wieder ein Ideal
> > (warum?)
> ist klar, einfach nachzurechnen, also finde ich ein a [mm]\in[/mm] R
> mit [mm]\mathfrak{a} \cap[/mm] R = [mm](a)_R.[/mm]
> ... aber:
> > Jetzt versuch doch mal, [mm]\mathfrak{a} = (a)_S[/mm]
> > zu zeigen.
>
> .... Hier komme ich schon wieder nicht weiter... Hoffe, du
> hast nichts dagegen, noch einmal zu helfen...
Du musst ja nur zeigen, dass [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] in [mm] $(a)_S$ [/mm] enthalten ist (warum?). Nimm dir ein $x [mm] \in \mathfrak{a}$ [/mm] und schreibe $x = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] mit $p, q [mm] \in [/mm] R$. Nach (a) kann man $p, q$ so waehlen, dass [mm] $q^{-1} \in [/mm] S$ ist. Und jetzt schau dir mal $q x$ an.
HTH & LG, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Do 15.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | > Sei R ein Hauptidealbereich, K ein Quotientenkörper von R,
> S ein Teilring von K mit R [mm] \le [/mm] S [mm] \le [/mm] K.
> Beh.:
> a) [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S [mm] \exists [/mm] a,b [mm] \in [/mm] R: [mm] s=ab^{-1} \wedge b^{-1} \in [/mm] S.
> b) S ist ein Hauptidealbereich. |
Gut, danke a) ist geklärt, da muss ich auf der Leitung gestanden haben.
Aber bei b) blicke ich immer noch nicht durch.
Warum reicht es, am SChluss nur die eine Inklusion zu zeigen ( [mm] \mathfrak{a} \subseteq (a)_S)?
[/mm]
Und was kann ich dann aus qx=p [mm] (pq^{-1}=x \in \mathfrak{a} [/mm] ) folgern?
Hoffe die Fragen sind nicht wirklich so dumm, wie sie mir vorkommen,
Gruß,
San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Sa 17.12.2005 | | Autor: | felixf |
> > Sei R ein Hauptidealbereich, K ein Quotientenkörper von R,
> > S ein Teilring von K mit R [mm]\le[/mm] S [mm]\le[/mm] K.
> > Beh.:
> > a) [mm]\forall[/mm] s [mm]\in[/mm] S [mm]\exists[/mm] a,b [mm]\in[/mm] R: [mm]s=ab^{-1} \wedge b^{-1} \in[/mm]
> S.
> > b) S ist ein Hauptidealbereich.
> Gut, danke a) ist geklärt, da muss ich auf der Leitung
> gestanden haben.
> Aber bei b) blicke ich immer noch nicht durch.
> Warum reicht es, am SChluss nur die eine Inklusion zu
> zeigen ( [mm]\mathfrak{a} \subseteq (a)_S)?[/mm]
Die andere Inklusion, [mm] $(a)_S \subseteq \mathfrak{a}$, [/mm] folgt daraus, dass $a [mm] \in (a)_R [/mm] = [mm] \mathfrak{a} \cap [/mm] R [mm] \subseteq \mathfrak{a}$ [/mm] ist und dass [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] ein Ideal in $S$ ist.
> Und was kann ich
> dann aus qx=p [mm](pq^{-1}=x \in \mathfrak{a}[/mm] ) folgern?
Nun, [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] ist ein Ideal in $S$, also ist $p [mm] \in \mathfrak{a}$. [/mm] Weiterhin ist $p [mm] \in [/mm] R$, womit $p [mm] \in \mathfrak{a} \cap [/mm] R = [mm] (a)_R \subseteq (a)_S$ [/mm] ist.
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 So 18.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
Ja, danke, alles wunderbar! Vielen Dank für die Mühe (und die Geduld),
Gruß,
San
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