Häufungspunkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 16.05.2006 | | Autor: | sonisun |
| Aufgabe | | Zeige, dass sup(h) und inf (H) in H liegen, wobei H die Menge der Häufungspunkte iner beschränkten Folge reeller Zahlen ist. |
ich weiß, dass ich irgendwie mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß arbeiten muss, doch ich weiß net wie. und ich muss die Aufgabe heute noch abgeben (sorry, dass ich so kurz vor knapp erst frage)
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Di 16.05.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo sonisun,
> Zeige, dass sup(h) und inf (H) in H liegen, wobei H die
> Menge der Häufungspunkte iner beschränkten Folge reeller
> Zahlen ist.
Kann es sein, dass du irgendetwas bei der aufgabe vergessen hast? So stimmt die aussage nämlich nicht.... Nimm bspw. die folge
[mm] $a_i=(-1)^n\cdot \frac [/mm] 1n$. Diese Folge ist als konvergierende folge beschränkt und hat einen Häufungspunkt, nämlich den grenzwert 0. Weder supremum noch infimum der folge sind aber gleich 0, also nicht in der Menge der HP enthalten.
VG
Matthias
PS: Einwand hat sich erledigt, da auf einem Mißverständnis beruhend!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Di 16.05.2006 | | Autor: | sonisun |
@ Matthias
Nein, es ist schon richtig. Ich soll ja nicht zeigen, dass die Grenzwerte einer Beschränkten Folge Häufungspunkte sind, sondern ich soll zeigen, dass das Supremum von den Häufungspunkten (!!!) einer beschränkten Folge in H liegt. und analog das selbe fürs Infimum.
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Hallo nochmal,
Ok, die aufgabe macht also doch sinn.....
> Zeige, dass sup(h) und inf (H) in H liegen, wobei H die
> Menge der Häufungspunkte iner beschränkten Folge reeller
> Zahlen ist.
Ich würde folgendermaßen argumentieren:
Sei [mm] $a_i$ [/mm] eine beschränkte reelle folge und $H$ die Menge der HP von [mm] $a_i$. [/mm] Da [mm] $a_i$ [/mm] beschränkt ist, muß auch $H$ beschränkt sein. Wir zeigen nun, dass HPs von H auch wieder in H liegen müssen, denn dann sind wir fertig. (Warum?)
Angenommen, H hat einen HP $x$ außerhalb von H. Dann gibt es in jeder Umgebung von $x$ unendlich viele HPs von [mm] $a_i$. [/mm] Das heißt aber, dass in jeder Umgebung von $x$ unendlich viele Glieder der Folge [mm] $a_i$ [/mm] liegen: $x$ ist also selber HP von [mm] $a_i$ [/mm] und somit in H enthalten. Widerspruch!
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 16.05.2006 | | Autor: | sonisun |
muss ich dieses "Warm", also warum reich es zu zeigen, dass Häufungspunkte von H wieder in H liegen? (anstatt von Supremum und Infimum)
muss ich dieses "Warum" mit KOnvergenz begründen?
oder eher so: weil H beschränkt ist, muss es wieder Häufungspuntke von H geben und Supremum und Infimum sind Häufungspunkte von H
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> muss ich dieses "Warm", also warum reich es zu zeigen, dass
> Häufungspunkte von H wieder in H liegen? (anstatt von
> Supremum und Infimum)
>
> muss ich dieses "Warum" mit KOnvergenz begründen?
>
> oder eher so: weil H beschränkt ist, muss es wieder
> Häufungspuntke von H geben und Supremum und Infimum sind
> Häufungspunkte von H
H muss keine HPs haben. H kann auch nur endlich viele punkte enthalten (siehe mein vermeintliches gegenbeispiel). Dann liegen sup und inf aber trivialerweise in der Menge! Was ich meinte, war: liegen sup und/oder inf (hypothetischerweise) außerhalb von H, dann müssen sie HPs sein. Und dann kannst du so weiterargumentieren wie in meiner ersten antwort.
VG
Matthias
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