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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Lunar |
| Aufgabe | | Beweisen Sie den Satz: Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt hat. |
Hey!
ich habe Mühe beim Beweis dieser Aussage. Ich weiss nicht wie ich das verknüpfen kann.
Beschränktheit heisst ja, dass eine Folge ein Supremum und ein Infimum hat.
Wenn die Folge genau einen Häufungspunkt hat, heisst das das der Häufungspunkt der Grenzwert ist, oder liege ich falsch?
Ich habe mir überlegt, dass ich beweisen kann, dass der Häufungspunkt der Grenzwert ist. Dann könnte ich zeigen, dass die Folge gegen diesen konvergiert. Aber wo fange ich an? Wie verknüpfe ich alles?
Sorry ich bin gar nicht gut in solchen Dingen beweisen, wenn ich nichts handfestes habe.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lunar,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Beweisen Sie den Satz: Eine Folge ist genau dann
> konvergent, wenn sie beschränkt ist und genau einen
> Häufungspunkt hat.
> Hey!
> ich habe Mühe beim Beweis dieser Aussage. Ich weiss nicht
> wie ich das verknüpfen kann.
> Beschränktheit heisst ja, dass eine Folge ein Supremum
> und ein Infimum hat.
> Wenn die Folge genau einen Häufungspunkt hat, heisst das
> das der Häufungspunkt der Grenzwert ist, oder liege ich
> falsch?
> Ich habe mir überlegt, dass ich beweisen kann, dass der
> Häufungspunkt der Grenzwert ist. Dann könnte ich zeigen,
> dass die Folge gegen diesen konvergiert. Aber wo fange ich
> an? Wie verknüpfe ich alles?
> Sorry ich bin gar nicht gut in solchen Dingen beweisen,
> wenn ich nichts handfestes habe.
> Vielen Dank für eure Hilfe!
Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge. Du musst nun beide Richtungen zeigen:
a) [mm] a_n [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow a_n [/mm] beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt
Nimm dazu eine Definition der Folgenkonvergenz und zeige, dass die Folge beschränkt ist. Da [mm] a_n [/mm] konvergent ist, ist der Grenzwert ein Häufungspunkt. Warum kann es keine weiteren Häufungspunkte geben?
b) [mm] a_n [/mm] beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt [mm] \Rightarrow a_n [/mm] konvergent
Es gilt [mm] a_n [/mm] beschränkt [mm] \gdw |a_n|\leq [/mm] C für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Sei a der Häufungspunkt. Wir wollen zeigen, dass dieser Häufungspunkt der Grenzwert der Folge ist.
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] In der Menge [mm] [-C,C]\backslash(a-\varepsilon,a+\varepsilon) [/mm] liegen nur endlich viele Folgenglieder (warum?).
Daraus folgt die Existenz eines [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] a_n\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon) [/mm] für [mm] n\geq [/mm] N. Das aber bedeutet Konvergenz.
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:03 So 23.10.2011 | | Autor: | Lunar |
Hei kamaleonti
vielen Dank für deine Rückmeldung.
zu a) habe ich folgendes:
habe gezeigt, dasss eine konvergente Folge beschränkt ist.
Dann habe ich den Satz von Bolzano-Weierstrass angewendet. Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge. Also hat diese Teilfolge einen Häufungspunkt, der auch Häufungsspunkt von [mm] a_n [/mm] ist. Dieser Häufungspukt muss der Grenzwert sein, weil sonst hätte [mm] a_n [/mm] 2 Häufungspunkte. und das geht nicht.
Wenn ich das so schreibe, klingt das ziemlich schwammig...
zu b) Ich verstehe nicht genau was du meinst.
> Sei [mm]\varepsilon>0.[/mm] In der Menge
> [mm][-C,C]\backslash(a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm] liegen nur
> endlich viele Folgenglieder (warum?)
Ich kann mir wirklich nicht erklären warum :). sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 25.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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