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Es sei a = [mm] (a_n), [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] eine beschränkte Folge in [mm] \IR. [/mm] Zeige, dass für die Menge [mm] \Delta_a [/mm] der Häufungspunkte von a gil: [mm] \Delta_a [/mm] = [mm] \bigcap_{ n \in \IN }^{} \overline{{ a_k : k \ge n}}. [/mm] Ich weiß nicht mal genau, was mir dieser Ausdruck eigentlich sagen soll. Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 So 13.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Es sei a = [mm](a_n),[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] eine beschränkte Folge in [mm]\IR.[/mm]
> Zeige, dass für die Menge [mm]\Delta_a[/mm] der Häufungspunkte von
> a gil: [mm]\Delta_a[/mm] = [mm]\bigcap_{ n \in \IN }^{} \overline{\{ a_k : k \ge n\}}.[/mm]
Nette Aufgabe.
> Ich weiß nicht mal genau, was mir dieser Ausdruck
> eigentlich sagen soll. Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Was meinst du damit? Da steht ein Schnitt über Mengen - die Mengen sind jeweils der (topologische) Abschluß der Menge, die aus allen Folgengleidern ab dem Folgenglied n bestehen. Und du sollst die Gleichheit zeigen: also wenn du einen Häufungspunkt hast, dann ist er in jedem solcher abschlüße. Wenn ein Punkt in jedem solcher Abschlüße liegt, dann ist es ein Häfungspunkt.
Klarer?
Desweietren wäre es wohl gut zu benutzen, dass ein HP genau dann einer ist, wenn eine Teilfolge gegen ihn konvergiert.
SEcki
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Ok, jetzt weiß ich immerhin schonmal, was genau die Aufgabe ist. Leider bin ich nicht so gut, dass ich den Beweis führen kann. Könntest du mir eventuell einen Beweis liefern, oder wenigstens den Anfang. Wär echt total lieb von die!!!
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Letztlich handelt es sich bei der rechten Seite der zu beweisenden Beziehung um die Definition des Begriffs Häufungspunkt. Zur Abkürzung schreibe ich [mm]A_n = \left\{ a_k \, : \, k \geq n\right\}[/mm]. Dann ist
[mm]\Delta_a = \bigcap_{n \in \mathbb{N}}~\overline{A_n}[/mm]
zu zeigen.
Wann ist [mm]c[/mm] Häufungspunkt der Folge [mm]a[/mm]?
Dann und nur dann, wenn
zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] unendlich viele [mm]k \in \mathbb{N}[/mm] mit [mm]\left| a_k - c \right| < \varepsilon[/mm] existieren.
Die Bedingung kann man auch so formulieren:
Zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] und jedem [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] existiert ein [mm]k \geq n[/mm] mit [mm]\left| a_k - c \right| < \varepsilon[/mm].
Wann liegt nun andererseits ein Element [mm]c[/mm] in [mm]\overline{A_n}[/mm]?
Dann und nur dann, wenn in jeder Umgebung von [mm]c[/mm] ein Element der Menge [mm]A_n[/mm] liegt, wenn also
zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]k \geq n[/mm] mit [mm]\left| a_k - c \right| < \varepsilon[/mm] existiert.
Und jetzt beachte noch, daß die Durchschnittsbildung [mm]\bigcap_{n \in \mathbb{N}}[/mm] gerade besagt, daß [mm]c[/mm] in allen Mengen [mm]\overline{A_n}[/mm] liegt, daß also für alle [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] und alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] ...
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