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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:27 Do 25.11.2004 | | Autor: | kleines-sax |
Hallo,
also ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich leider keine Idee habe, was ich da machen soll.
Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IR} [/mm] eine Folge mit [mm] (a_{n} [/mm] | n [mm] \in \IN)= \IQ. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \IR [/mm] die Menge der Häufungspunkte von [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] ist.
Habe ich das richtig verstanden das [mm] a_{n} [/mm] die Menge der rationalen Zahlen ist und ich jetzt zeigen muss, das alle reellen Zahlen die Anzahl der Häufungspunkte sind?
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hallo, mir ist das soweit jetzt klar, nur verstehe ich nicht wie du auf die definition von q kommst
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Di 30.11.2004 | | Autor: | frabi |
> hallo, mir ist das soweit jetzt klar, nur verstehe ich
> nicht wie du auf die definition von q kommst
>
Man sollte sich das vielleicht mal an einem Beispiel anschauen. z.B. [mm] $x=\sqrt{2}$
[/mm]
Das ist ja ungefähr [mm] $1,4142136\ldots$. [/mm] Wenn wir jetzt ein rationales $q$ wollen, das
Wurzel 2 bis auf (mindestens) 1/100 annähert, nehmen wir mal den Faktor 1000 (wegen
$1/1000 < 1/100 := [mm] \varepsilon$). $1000\cdot [/mm] x$ entspricht jetzt dem verschieben das Kommas
um 3 Stellen nach rechts: [mm] $1000\cdot x=1414,2136\ldots$. [/mm] Durch die Gaußklammern schneidet
man den Nachkommateil ab, erhält also eine Ganze Zahl. Um jetzt das gewünschte $q$ zu
erhalten müssen wir den Wert noch durch den gewählten Faktor (hier 1000) teilen und erhalten
$q = 1,414$.
Das funktioniert natürlich auch mit jedem anderen Faktor. Aber mit einer 10er Potenz lässt sich das halt so schön rechnen.
Also im Prinzip:
1. reelles x mit faktor $f [mm] \in \IN$ [/mm] hochskalieren (so dass $1/f < [mm] \varepsilon$)
[/mm]
2. Nachkommastellen adé
3. erhaltenen wert wieder durch f teilen
4. sich davon überzeugen, dass eine rationale Zahl rauskommt.
5. Ferdich
viele Grüße
frabi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Was habt ihr denn für Aussagen über die Menge der rationalen Zahlen in der Menge der reellen Zahlen bereits gemacht? Was dürft ihr verwenden?
Wenn ihr bereits wüsstet, dass es in jeder Umgebung einer reellen Zahl eine rationale Zahl gibt, wäre ja nicht mehr viel zu zeigen:
Dann gäbe es (zu einem beliebigen $x [mm] \in \IR$) [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $a_n \in \IQ$ [/mm] mit
$|x - [mm] a_n| [/mm] < [mm] \frac{1}{n}$,
[/mm]
und $x$ wäre ein Grenzwert von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Von daher frage ich mich gerade, welche Aussagen ihr zur Verfügung habt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Viele Grüße
Stefan
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Hallo,
also wir wissen, dass es in jeder Umgebung einer reellen Zahl eine rationale Zahl gibt, aber mal rein interesse halber, wie angenommen wir wüßten das nicht, wie könnte man denn dann vorgehen.
erstmal danke, hab schon langsam ein schlechtes gewissen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Sa 27.11.2004 | | Autor: | frabi |
Hi allerseits,
ich weiss das auch nicht genau. Aber meine Idee wäre folgende:
Gegeben ist also ein $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Gesucht ist ein passendes
$q [mm] \in \mathbb{Q}$, [/mm] so dass $|x - q| < [mm] \varepsilon$. [/mm] Richtig soweit,
oder?
Ich würde jetzt einfach mal das $q$ so definieren:
Wähle ein $n [mm] \in \mathbb{N}$, [/mm] so dass $1/n < [mm] \varepsilon$ [/mm] und setze
[mm]
q := \frac{\lfloor x\cdot n\rfloor}{n}
[/mm]
Dann müsste das $q$ schon passen. Leider weiss ich jetzt nicht,
wie man explizit zeigt, dass $|x-q| < [mm] \varepsilon$ [/mm] (wegen der
ekligen Gauß-Klammern).
nee warte mal:
[mm]
|x-q| = \left| x - \frac{\lfloor x\cdot n\rfloor}{n}\right|
= \left| \frac{x\cdot n - \lfloor x \cdot n\rfloor}{n}\right|
= \frac{\left| x\cdot n - \lfloor x \cdot n\rfloor\right|}{n}
\le \frac{1}{n} < \varepsilon
[/mm]
gilt das?
viele Grüße
frabi
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
