Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Do 17.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich hänge mal wieder über einer Aufgabe und zwar geht es um Häufungspunkte.
Gegeben habe ich die Folge [mm] a_n= \bruch{1}{n^2} [/mm] + [mm] (-1)^{\bruch{n(n+1)}{2}}. [/mm] Dazu soll ich nun alle Häufungspunkte bestimmen und für jeden Häufungspunkt eine Teilfolge angeben, die gegen diesen konvergiert.
Nun habe ich mir zuerst mal überlegt, dass
[mm] a_n=\begin{cases} \bruch{1}{n^2}-1, & \mbox{für } \bruch{n(n+1)}{2} \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{n^2}+1, & \mbox{für } \bruch{n(n+1)}{2} \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Wenn ich jetzt die GWS anwende und n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen, dann hab ich -1 und 1 als Häufungspunkte.
Da ich allerdings alle Häufungspunkte bestimmen soll, muss ich nun zeigen, dass es keine weiteren Häufungspunkte gibt...
Meine erste Überlegung war ein Widerspruchsbeweis, in dem ich annehme, dass z ein weiterer Häufungspunkt ist. Allerdings komm ich dann nicht wirklich weiter.... Kann mir jemand an dieser Stelle helfen?!
Desweiteren habe ich Probleme die Teilfolgen zu konstruieren... Normalerweise würde ich für den Fall ungerader oder gerader Exponent ja einmal n=2k und dann noch n=2k+1 betrachten... aber nun habe ich ja den Bruch [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] , bei dem ich zwischen gerade und ungerade unterscheide... wie konstruiere ich denn nun die Teilfolgen...? Kann ich dann einmal n=k(k+1) und als zweites n=k(k+1)+1 betrachten?
Wäre echt super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Danke schonmal im Voraus,
Pia
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> Hallo zusammen,
> ich hänge mal wieder über einer Aufgabe und zwar geht es
> um Häufungspunkte.
>
> Gegeben habe ich die Folge [mm]a_n= \bruch{1}{n^2}[/mm] +
> [mm](-1)^{\bruch{n(n+1)}{2}}.[/mm] Dazu soll ich nun alle
> Häufungspunkte bestimmen und für jeden Häufungspunkt
> eine Teilfolge angeben, die gegen diesen konvergiert.
>
> Nun habe ich mir zuerst mal überlegt, dass
> [mm]a_n=\begin{cases} \bruch{1}{n^2}-1, & \mbox{für } \bruch{n(n+1)}{2} \mbox{ ungerade} \\ \bruch{1}{n^2}+1, & \mbox{für } \bruch{n(n+1)}{2} \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die GWS anwende und n gegen [mm]\infty[/mm] laufen
> lassen, dann hab ich -1 und 1 als Häufungspunkte.
> Da ich allerdings alle Häufungspunkte bestimmen soll, muss
> ich nun zeigen, dass es keine weiteren Häufungspunkte
> gibt...
> Meine erste Überlegung war ein Widerspruchsbeweis, in dem
> ich annehme, dass z ein weiterer Häufungspunkt ist.
> Allerdings komm ich dann nicht wirklich weiter.... Kann mir
> jemand an dieser Stelle helfen?!
Du kannst mit Epsilons argumentieren:
Zu jeden [mm] $\epsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $N(\epsilon)$, [/mm] sodass für [mm] $n>N(\epsilon)$ [/mm] entweder [mm] $|a_n-1|<\epsilon$ [/mm] oder [mm] $|a_n+1|<\epsilon$ [/mm] gilt.
Ein alternativer Ansatz wäre: Da [mm] $\lim|a_n|=1$ [/mm] gilt, muss der Betrag des Grenzwertes jeder konvergenten Teilfolge gleich 1 sein.
>
> Desweiteren habe ich Probleme die Teilfolgen zu
> konstruieren... Normalerweise würde ich für den Fall
> ungerader oder gerader Exponent ja einmal n=2k und dann
> noch n=2k+1 betrachten... aber nun habe ich ja den Bruch
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] , bei dem ich zwischen gerade und
> ungerade unterscheide... wie konstruiere ich denn nun die
> Teilfolgen...? Kann ich dann einmal n=k(k+1) und als
> zweites n=k(k+1)+1 betrachten?
Hier solltest du dir erstmal klar machen, für welche n [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] gerade bzw. ungerade ist (also einfach erstmal ein paar Werte für n einsetzen)
>
> Wäre echt super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
>
> Danke schonmal im Voraus,
>
> Pia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 17.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
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> Du kannst mit Epsilons argumentieren:
> Zu jeden [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]N(\epsilon)[/mm], sodass für
> [mm]n>N(\epsilon)[/mm] entweder [mm]|a_n-1|<\epsilon[/mm] oder
> [mm]|a_n+1|<\epsilon[/mm] gilt.
> Ein alternativer Ansatz wäre: Da [mm]\lim|a_n|=1[/mm] gilt, muss
> der Betrag des Grenzwertes jeder konvergenten Teilfolge
> gleich 1 sein.
>
Vielen Dank erstmal für die Hilfe!
> >
> > Desweiteren habe ich Probleme die Teilfolgen zu
> > konstruieren... Normalerweise würde ich für den Fall
> > ungerader oder gerader Exponent ja einmal n=2k und dann
> > noch n=2k+1 betrachten... aber nun habe ich ja den Bruch
> > [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] , bei dem ich zwischen gerade und
> > ungerade unterscheide... wie konstruiere ich denn nun die
> > Teilfolgen...? Kann ich dann einmal n=k(k+1) und als
> > zweites n=k(k+1)+1 betrachten?
>
> Hier solltest du dir erstmal klar machen, für welche n
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gerade bzw. ungerade ist (also einfach
> erstmal ein paar Werte für n einsetzen)
>
An dieser Stelle komme ich jedoch immer noch nicht wirklich weiter... Ich kann irgendwie bisher keine Regelmäßigkeit erkennen. Gerade wird der Bruch ja beispielsweilse für 3 und 4, aber ansonsten?!
Also war meine bisherige Idee, die Teilfolgen a_{k(k+1)} und a_{k(k+1)+1 zu betrachten, falsch?!
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> >
> > Du kannst mit Epsilons argumentieren:
> > Zu jeden [mm]\epsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]N(\epsilon)[/mm], sodass
> für
> > [mm]n>N(\epsilon)[/mm] entweder [mm]|a_n-1|<\epsilon[/mm] oder
> > [mm]|a_n+1|<\epsilon[/mm] gilt.
> > Ein alternativer Ansatz wäre: Da [mm]\lim|a_n|=1[/mm] gilt,
> muss
> > der Betrag des Grenzwertes jeder konvergenten Teilfolge
> > gleich 1 sein.
> >
>
> Vielen Dank erstmal für die Hilfe!
>
> > >
> > > Desweiteren habe ich Probleme die Teilfolgen zu
> > > konstruieren... Normalerweise würde ich für den Fall
> > > ungerader oder gerader Exponent ja einmal n=2k und dann
> > > noch n=2k+1 betrachten... aber nun habe ich ja den Bruch
> > > [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] , bei dem ich zwischen gerade und
> > > ungerade unterscheide... wie konstruiere ich denn nun die
> > > Teilfolgen...? Kann ich dann einmal n=k(k+1) und als
> > > zweites n=k(k+1)+1 betrachten?
> >
> > Hier solltest du dir erstmal klar machen, für welche n
> > [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> gerade bzw. ungerade ist (also einfach
> > erstmal ein paar Werte für n einsetzen)
> >
>
> An dieser Stelle komme ich jedoch immer noch nicht wirklich
> weiter... Ich kann irgendwie bisher keine Regelmäßigkeit
> erkennen. Gerade wird der Bruch ja beispielsweilse für 3
> und 4, aber ansonsten?!
>
> Also war meine bisherige Idee, die Teilfolgen a_{k(k+1)}
> und a_{k(k+1)+1 zu betrachten, falsch?!
>
>
Damit klappt es nicht. $\bruch{n(n+1)}{2}$ ist genau dann gerade, wenn entweder n oder n+1 durch 4 teilbar ist, also für $n=4k-1$ und für $n=4k$.
Ansonsten, also für $n=4k+1$ und $n=4k+2$, ist der Ausdruck ungerade
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Do 17.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Oh, vielen Dank!
Mein erster Gedanke war grad, woher man weiß, dass einer der Faktoren durch 4 teilbar sein muss, aber selbst das ist mir jetzt klar :) Schließlich wird das Ganze ja noch durch 2 geteilt und dann müssen wir ja im Zähler noch eine 2 "übrig" haben, damit es gerade ist ...:)
Nochmal vielen lieben Dank!
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