Häufungspunkte Sinus < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme alle Häufungspunkte der Folge:
[mm] a_m [/mm] = sin(m)
Stellen sie zuerst eine Behauptung für die Menge der Häufungspunkte auf und argumentieren sie, warum diese Antwort zutreffend ist.
Versuchen sie anschließend ihre Behauptung streng mathematisch zu beweisen.
Denken Sie dabei an die Vorlesung... |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Also ich habe mir dazu überlegt, dass die Menge der Häufungspunkte H=[-1;1] sein muss, da ja ein Häufungspunkt nach Definition unendlich viele weitere Folgenglieder in seiner näheren Umgebung hat.
Der Mathematische Beweis hierfür soll in Anlehnung an die Vorlesung über die Stetigkeit erbracht werden. Jedoch weiß ich jetzt nicht genau wie ich da rangehen muss!
Ich wollte mal das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium versuchen, aber hab damit wenig Erfahrung, bzw keinen Plan wie ich das dafür umformen soll.
Eine andre Idee war zu argumentieren dass
x0 [mm] \in [/mm] [-1;1] liegt und xn [mm] \to [/mm] x0 (n [mm] \to \infty [/mm] ) oder so ähnlich :/
Hoffe mir kann jemand n paar tipps geben wie ich da weiter mache/rangehe.
mfG
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Hallo sealsnipe, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme alle Häufungspunkte der Folge:
> [mm]a_m[/mm] = sin(m)
Gehe ich recht in der Annahme, dass [mm] m\in\IN?
[/mm]
> Stellen sie zuerst eine Behauptung für die Menge der
> Häufungspunkte auf und argumentieren sie, warum diese
> Antwort zutreffend ist.
> Versuchen sie anschließend ihre Behauptung streng
> mathematisch zu beweisen.
> Denken Sie dabei an die Vorlesung...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Also ich habe mir dazu überlegt, dass die Menge der
> Häufungspunkte H=[-1;1] sein muss, da ja ein Häufungspunkt
> nach Definition unendlich viele weitere Folgenglieder in
> seiner näheren Umgebung hat.
Und warum bestreicht die Folge den gesamten Wertebereich des Sinus? Das musst Du auch noch argumentieren.
> Der Mathematische Beweis hierfür soll in Anlehnung an die
> Vorlesung über die Stetigkeit erbracht werden. Jedoch weiß
> ich jetzt nicht genau wie ich da rangehen muss!
> Ich wollte mal das [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] - Kriterium
> versuchen, aber hab damit wenig Erfahrung, bzw keinen Plan
> wie ich das dafür umformen soll.
Geht auch nicht.
> Eine andre Idee war zu argumentieren dass
> x0 [mm]\in[/mm] [-1;1] liegt und xn [mm]\to[/mm] x0 (n [mm]\to \infty[/mm] ) oder so
> ähnlich :/
Geht ja auch nicht. Die Folge hat keinen Grenzwert.
> Hoffe mir kann jemand n paar tipps geben wie ich da weiter
> mache/rangehe.
Die Frage ist doch:
nimm mal eine beliebige reelle Zahl s, [mm] 0\le s\le2\pi
[/mm]
Zu ihr gehört der Funktionswert [mm] \sin{s}
[/mm]
Wieviele Folgenglieder liegen nun in einer beliebig engen Umgebung? Mit anderen Worten: wie ermittle ich eine natürliche(!) Zahl, die möglichst nah an [mm] s+k*2\pi [/mm] kommt?
Oder gleich mehrere...
> mfG
Hartes Problem, finde ich.
LG,
reverend
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