Häufungspunkte bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mi 14.11.2007 | | Autor: | H8U |
Sei [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] eine Folge mit { [mm] a_n [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } = [mm] \IQ. [/mm] Zeigen Sie, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt von [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] ist.
Ich verstehe nicht ganz, wie ich das im Zusammenhang mit dem [mm] \IQ [/mm] beweisen kann? Wer hat nen Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
Häufungspunkte weist man ja ähnlich wie Grenzwerte nach. Bei einem Häufungswert müssen unendlich viele Folgenglieder in jeder noch so kleinen epsilon-umgebung liegen.
Beim Grenzert muss zusätzlich noch gelten, dass nur endlich viele Folgeglieder außerhalb der epsilon-umgebung sind.
Wenn eine Folge mehrere Grenzwerte besitzt, so sind dies die Häufungswerte. Ich denke mal dies stimmt so.
Meine Frage:
Da steht ja, dass die folge nur rationale zahlen hat...also warum sollte jede reelle zahl ein häufungspunkt sein? damit müssten die irrationalen zahlen ja ebenfalls einen häufungspunkt ergeben obwohl sie nicht element von Q sind...
Diese Aufgabe hier ist echt nicht ohne. An die Profies da draußen deswegen die Bitte, helft uns. Lieben Gruß
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> Da steht ja, dass die folge nur rationale zahlen hat...also
> warum sollte jede reelle zahl ein häufungspunkt sein? damit
> müssten die irrationalen zahlen ja ebenfalls einen
> häufungspunkt ergeben obwohl sie nicht element von Q
> sind...
Hallo,
ja und?
Denk daran, daß sich jede reelle Zahl r in eine b-adischen Bruch entwickeln läßt. Damit hast Du dann doch eine konvergente rationale Teilfolge.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:49 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Tigerlilli |
Bitte gebt mir einen Anfang. Wenn der erstmal da ist,wird`s mir best. leichter fallen. Bitte macht mal eine Ausnahme und gebt mir nur den Anfang vor. Ich werde dann mein Bestes geben,um die Aufgabe so gut es geht fortzuführen. LG
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> Bitte gebt mir einen Anfang. Wenn der erstmal da ist,wird's
> mir best. leichter fallen. Bitte macht mal eine Ausnahme
> und gebt mir nur den Anfang vor. Ich werde dann mein Bestes
> geben,um die Aufgabe so gut es geht fortzuführen. LG
Ich hab' Dir doch einen Anfang gegeben.
Was hast Du draus gemacht?
Was hast Du Dir überlegt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 20.11.2007 | | Autor: | H8U |
ich verstehe deinen ansatz nicht genau. könntest du das noch etwas genauer erklären? b-adisch???
wir sind noch immer alle ziemlich planlos.
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> ich verstehe deinen ansatz nicht genau. könntest du das
> noch etwas genauer erklären? b-adisch???
Du kannst jede reelle Zahl r z.B. in einen Dezimalbruch entwickeln und erhältst so eine Folge rationaler Zahlen, die gegen r konvergiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Mi 21.11.2007 | | Autor: | skiy |
Ich sitze an der selben Aufgabe.
Ich habe folgendes überlegt:
Jede reelle Zahl ist darstellbar in einer Dezimaldarstellung z.B 1,334353...
allgemein [mm] a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}...
[/mm]
Das bedeutet eigentlich:
[mm] \bruch{a_{0}}{10^{0}}+\bruch{a_{1}}{10^{1}}+\bruch{a_{2}}{10^{2}}+\bruch{a_{3}}{10^{3}}+\bruch{a_{4}}{10^{4}}+..
[/mm]
also allgemein vielleicht:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{a_{i}}{10^{i}}
[/mm]
es lässt sich also jede reelle Zahl durch so eine Folge darstellen, bzw. beliebig gut annähern.
Ist das soweit ein richtiger Ansatz?
muss ich nicht eine Teilfolge angeben, die gegen beliebiges r [mm] \in \IR [/mm] konvergiert? wie mache ich das?
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> es lässt sich also jede reelle Zahl durch so eine Folge
> darstellen, bzw. beliebig gut annähern.
> Ist das soweit ein richtiger Ansatz?
Hallo,
ja, so hatte ich mir das jedenfalls vorgestellt.
> muss ich nicht eine Teilfolge angeben, die gegen beliebiges
> r [mm]\in \IR[/mm] konvergiert? wie mache ich das?
Du nimmst Dir ein beliebiges [mm] r\in \IR.
[/mm]
Ich gehe davon aus, daß aus der Vorlesung bekannt ist, daß sich jede reelle Zahl in einen (ggf. unendlichen) Dezimalbruch (bzw. b-adischen) entwickeln läßt, womit Du die Existenz einer rationalen Folge, die gegen r konvergiert, bereits hast.
Da die in der Aufgabe vorgegebene Folge [mm] (a_n) [/mm] ganz [mm] \IQ [/mm] umfaßt, hast Du somit eine Teilfolge v. dieser, die gegen r konvergiert.
Gruß v. Angela
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