Häufungspunkte einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Di 15.12.2009 | | Autor: | Azarazul |
| Aufgabe | Finden Sie alle Häufungspunkte der Folge
$$ [mm] a_n [/mm] = nx-[nx], [mm] n\in \mathds{N}, \, x\in \mathds{R}\backslash \mathds{Q}$$ [/mm] |
Hallo,
mir ist bereits klar, dass alle Punkte in $ [0,1]$ HP dieser Folge sind.
Ich kann auch zeigen, dass die Folge z.B. injektiv ist, aber das hilft mir noch nicht. Ich kann sagen, dass ich x, welches ja beliebig aus [mm] $\mathds{R}$ [/mm] kommen kann, aufspalten kann in den irrationalen Teil kleiner 1. Aber auch damit kann ich nicht zeigen, das für ein beliebiges [mm] $\xi\in [/mm] [0,1]$ gilt:
$$ [mm] \forall \epsilon [/mm] > [mm] 0\exists N\in \mathds{N}\forall [/mm] n [mm] \geq N:|a_n-\xi|<\epsilon$$
[/mm]
Wie schaffe ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Di 15.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie alle Häufungspunkte der Folge
> [mm]a_n = nx-[nx], n\in \mathds{N}, \, x\in \mathds{R}\backslash \mathds{Q}[/mm]
>
> Hallo,
>
> mir ist bereits klar, dass alle Punkte in [mm][0,1][/mm] HP dieser
> Folge sind.
Wenn Dir das klar ist, so hast Du die Aufgabe doch gelöst !
> Ich kann auch zeigen, dass die Folge z.B. injektiv ist,
> aber das hilft mir noch nicht. Ich kann sagen, dass ich x,
> welches ja beliebig aus [mm]\mathds{R}[/mm] kommen kann, aufspalten
> kann in den irrationalen Teil kleiner 1. Aber auch damit
> kann ich nicht zeigen, das für ein beliebiges [mm]\xi\in [0,1][/mm]
> gilt:
> [mm]\forall \epsilon > 0\exists N\in \mathds{N}\forall n \geq N:|a_n-\xi|<\epsilon[/mm]
>
> Wie schaffe ich das?
Gar nicht ! Mal angenommen, Du schaffst das, dann wäre [mm] (a_n) [/mm] doch konvergent mit dem Grenzwert [mm] \xi, [/mm] und das kann ja wohl nicht sein
FRED
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Ja, aber "mir ist es klar" reicht nicht als Beweis - schließlich muss ich - und das meinte ich - formell irgendeine konvergente Teilfolge angeben. Kann ich da was genaues zu sagen ?
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> Ja, aber "mir ist es klar" reicht nicht als Beweis -
> schließlich muss ich - und das meinte ich - formell
> irgendeine konvergente Teilfolge angeben. Kann ich da was
> genaues zu sagen ?
Hallo,
vielleicht erklärst Du erstmal, warum Dir das, was Dir klar ist, so klar ist.
Du wirst Dir ja irgendetwas überlegt haben.
Mir ist ehrlich gesagt bei der Folge mit [mm] a_n:=nx-[nx] [/mm] für [mm] x\in \IR \backslash \IQ [/mm] zunächst überhaupt nichts klar.
Ich weiß im Moment nicht, was da Häufungspunkt ist und was nicht und ob es sich überhaupt irgendwo häuft.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Do 17.12.2009 | | Autor: | Azarazul |
Ok, ihr habt ja recht: Die Frage ist immer noch aktuell. Mein Hiwi hat jetzt erklärt, dass ich das (schubladen) Dirichlet-Prinzip verwenden soll. Demnach würde irgendwie so vorgehen, dass ich "die X-Achse" in Intervalle schachtele und jetzt sage, dass es in jedem einen Punkt geben muss und dann versuche ich irgendwie mit hilfe der injektivität was zu basteln ... ähhh ja, keine ahnung...
Das Ergebnis soll tatsächlich sein, dass ganz [mm] $\[0,1\]$ [/mm] Häufungspunkt ist.
Viele Grüße
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Hallo Azarazul,
schau doch mal hier.
lg
reverend
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